两组向量之间的四元数旋转

Question

我希望能找到两组两个向量之间的旋转，作为四元数。在每一对中，矢量将彼此成直角并具有单位长度（基本上以正交基准为基础的两个矢量）。

我当前的代码看起来是这样的：

Vector3 look1, up1, right1, look2, up2, right2; 
// look1, up1, right1 form orthonormal basis, 
// ditto with look2, up2, and right2 
Vector3 lookRotateAxis = look1 % look2; 
// operator% defined as cross product for convenience 
float lookRotateAngle = acos(look1 * look2); 
// operator* defined as dot product for convenience 
Quaternion lookRotate; 
lookRotate.makeRotation(lookRotateAngle, lookRotateAxis); 
up1Transformed = lookRotate.rotateVector(up1); 
Vector3 upRotateAxis = up1Transformed % up2; 
float upRotateAngle = up1Transformed * up2; 
Quaternion upRotate; 
upRotate.makeRotation(upRotateAngle, upRotateAxis); 
Quaternion finalRotation = upRotate * lookRotate; 
// quaternion finalRotation rotates basis 1 to basis 2 

我现在使用的方法是，首先每对找到两个向量之间的四元数旋转，然后乘以两者之间的四元数旋转每一对中的第二个向量。这导致了一个单一的四元数，我可以通过旋转两个矢量来得到另外两个矢量。有没有更简单的方法来计算四元数，而不是通过乘以两个旋转，而是计算单个旋转？

谢谢！

Answer 1

我认为可以非常快速和有效地做你想做的事情。首先，你应该完成每一个正交正常的矢量对成正交基。这样做的显而易见的方法是通过前两个向量的交叉乘积。顺序很重要：如果你想u0映射到v0和u1映射到v1，那么形成标准正交基{u0，u1，u2}，其中u2 = u0 x u1（叉积），也形成标准正交基{v0，v1 ，v2}其中v2 = v0 x v1，并将u2映射到v2。如果你不小心并且设置了v2 = v1 x v0，那么最终会出现一个不可能的情况（试图将右手坐标系映射到具有旋转的左手坐标系）。所以请注意交叉产品中的术语顺序。

既然您有两个正交基，或者帧，那么很容易构造表示从{x，y，z}帧到给定帧的旋转的正交矩阵。 （再次，您必须考虑{x，y，z}框架的方向或手性......例如，您可能必须使用{x，z，y}。）矩阵乘以表示从该帧{X，Y，Z}到{U0，U1，U2}旋转正交矩阵是

[u00 u01 u02] 
[u10 u11 u12] 
[u20 u21 u22] 

其中，根据用于计算机图形通常的惯例，我们通过预先乘以向量我们的矩阵。例如，我们的矩阵对（1,0,0）的影响是

 [u00 u01 u02] 
[1 0 0] [u10 u11 u12] = [u00 u01 u02] 
     [u20 u21 u22] 

这正是我们想要的;对于{x，y，z}中的其他两个基向量也是如此。

要将一帧映射到另一帧，我们通过帧{x，y，z}作为中介。所以我们必须找到第一个正交矩阵的逆。幸运的是，反转正交矩阵非常简单：你只需要转置。因此，在框架{U0，U1，U2}映射到帧{V0，V1，V2}，使用矩阵产品

[u00 u10 u20] [v00 v01 v02] 
[u01 u11 u21] [v10 v11 v12] 
[u02 u12 u22] [v20 v21 v22] 

让我们看看会发生什么，当我们输入向量U1 = [U10，U11， u12]插入此矩阵产品：

   [u00 u10 u20] [v00 v01 v02]   [v00 v01 v02] 
[u10 u11 u12] [u01 u11 u21] [v10 v11 v12] = [0 1 0] [v10 v11 v12] = [v10 v11 v12] 
       [u02 u12 u22] [v20 v21 v22]   [v20 v21 v22] 

正如需要。这里我们使用了公式u1。 u0 = 0，u1。 u1 = 1，u1。 u2 = 0，从{u0，u1，u2}是正交正常帧。

因此表示要旋转的正交矩阵正是

[u00 u10 u20] [v00 v01 v02] 
[u01 u11 u21] [v10 v11 v12] 
[u02 u12 u22] [v20 v21 v22] 

执行矩阵乘法，以获得一个矩阵，然后如果你想在四元数表示，从旋转矩阵转换通过类似的四元数方法在http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Quaternion中描述。