简化布尔代数表达式

Question

从一个减法器具有三个输入和两个输出我获得用于所述第二输出Z2以下布尔式（在该位的“贷款”向左）的真值表开始：

Z2 = x0'x1'x2 + x0'x1x2' + x0'x1x2 + x0x1x2

（其中X0'装置NOT X0）。

简化它：Z2 = X2（X0⊕X1） '+ X1（X0⊕×2）' + X1X2

这意味着：Z2 = X2（X0 XNOR X1）+ X1 （x0 XNOR x2）+ x1x2

我可以简化更多吗？我试过z2 =（x0 XNOR x1）+（x0 XNOR x2）+ x1x2但它并没有成功。

Answer 1

您的原始表达式有12个变量引用和16个运算符。您的简化包含8个变量引用和7个运算符。这里是6所变量引用和6个运算符的表达式：

Z2 = x0x1x2 + X0' （X1 + X2）

我不知道这是否是在任何意义上最小的。

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你问我怎么找到这个表情。我没有从你的简化开始，我从你在评论中引用的真值表开始。我在这里重现：

当我看着表寻找模式，我看到它看起来像一个视交叉或反对称矩阵：如果我翻转最后一列颠倒然后采取补所有项目的结果都是原始列。 （我不知道这种对称性的适当术语，这些是我脑海中想到的术语。）我试图将这种对称性封装在一个逻辑表达式中，但失败了。

这使我看到了最后一列的上半部分和下半部分。上半部分大部分是下半部分，下半部分大部分是零。然后它让我感到上半部分看起来像是二进制或运算的真值表，而下半部分看起来像是二进制AND运算。当然，上半部分用于x0'，下半部分用于x0。把这些事实放在一起给了我我的表达。

我通过查看是否可以将原始表达式操纵到我的地方来确认表达式。我可以，做

z2 = x0'x1'x2 + x0'x1x2' + x0'x1x2 + x0x1x2 
    = x0'(x1'x2 + x1x2' + x1x2) + x0x1x2 
    = x0'(x1 + x2) + x0x1x2 
    = x0x1x2 + x0'(x1 + x2) 

从第二到第三行的过渡，当然，等同于承认二进制或真值表，所以这不是我的实际发现的方法非常不同。

后一种方法可能更容易转移到其他问题：从多个术语中排除一个共同因素。我的实际方法更有趣，但不易转让。我最喜欢的数学定义是“模式研究”，它解释了为什么这个方法很有趣。