在网络搜索之后，我看到各种论坛中的各种人物暗指以二次方近似三次曲线。但我找不到配方。如何将三次曲线的2个控制点转换为二次曲线的单个控制点？
我想是这样的：
输入：startx的，startY，control1X，control1Y，control2X，control2Y，endX，恩迪 输出：运行startx，startY，controlX，controlY，endX，恩迪
其实，因为起点和终点是一样的，我真正需要的是...
输入：startx的，startY，control1X，control1Y，control2X，control2Y，endX，恩迪 输出：controlX，controlY
我可能会绘制一系列曲线，而不是试图使用不同的alg绘制一条曲线。有点像绘制两个半圆组成一个整圆。
一般情况下，您将不得不使用多个二次曲线 - 许多三次曲线的情况甚至不能用一条二次曲线近似地近似。
在http://www.timotheegroleau.com/Flash/articles/cubic_bezier_in_flash.htm（包括交互式演示）中有一篇很好的文章讨论了这个问题以及一些解决方法。
如前所述，从4个控制点到3通常是一个近似值。只有一种情况是确切的 - 当三次贝塞尔曲线实际上是一个升阶二次贝塞尔曲线。
您可以使用程度提升方程来得出一个近似值。这很简单，结果通常很好。
我们称三次Q0..Q3的控制点和二次P0..P2的控制点。然后升阶，方程是：
Q0 = P0
Q1 = 1/3 P0 + 2/3 P1
Q2 = 2/3 P1 + 1/3 P2
Q3 = P2
你的情况，你有Q0..Q3和你求解P0..P2。有两种方法来计算从上面的公式P1：
P1 = 3/2 Q1 - 1/2 Q0
P1 = 3/2 Q2 - 1/2 Q3
如果这是一个升高的程度立方，那么这两个公式可以得到同样的答案P1。既然它可能不是，你最好的选择是平均它们。所以，
P1 = -1/4 Q0 + 3/4 Q1 + 3/4 Q2 - 1/4 Q3
翻译成你的条件：
controlX = -0.25*startX + .75*control1X + .75*control2X -0.25*endX
Y被类似地计算 - 尺寸是独立的，所以这个工程的三维（或n-d）。
这将是一个近似值。如果你需要更好的近似，一种方法是通过使用deCastlejau算法对初始立方体进行细分，然后对每个细分进行度数减少。如果你需要更好的连续性，还有其他的近似方法不那么快速和肮脏。
tfinniga的回答的另一个推导：
首先看到维基百科Bezier curve 的公式为二次和三次贝塞尔曲线（也不错动画）：
Q(t) = (1-t)^2 P0 + 2 (1-t) t Q + t^2 P3
P(t) + (1-t)^3 P0 + 3 (1-t)^2 t P1 + 3 (1-t) t^2 P2 + t^3 P3
要求这些匹配在中间，T = 1/2：
(P0 + 2 Q + P3)/4 = (P0 + 3 P1 + 3 P2 + P3)/8
=> Q = P1 + P2 - (P0 + P1 + P2 + P3)/4
（Q写成这样具有几何解释：
Pmid = middle of P0 P1 P2 P3
P12mid = midway between P1 and P2
draw a line from Pmid to P12mid, and that far again: you're at Q.
希望这是有道理的 - 画出几个例子）
尽量寻找开源Postcript字体的TrueType字体转换器。我确定他们有。 Postscript使用三次贝塞尔曲线，而Truetype使用二次贝塞尔曲线。祝你好运。
约定/术语
算法
“神奇式”，在步骤2被证明来近似（带互动示例）on this page。
我应该注意到，阿德里安的解决方案对于单立方体来说非常棒，但是当立方体是光滑立方样条的线段时，则使用他的中点近似方法会导致节点节点的斜率连续性丢失。因此，如果您使用字体字形或出于其他任何需要保留曲线平滑性的原因（最可能是这种情况），则在http://fontforge.org/bezier.html#ps2ttf中描述的方法会更好。
即使这是一个老问题，很多像我这样的人会在搜索结果中看到它，所以我在这里发布这个。
立方体可以有循环和尖角，这是二次方不可能有的。这意味着几乎没有简单的解决方案。如果三次方已经是二次方，那么存在简单的解。通常情况下，你必须将立方分为二次方。而且你必须决定细分的关键点。我在网上看到的其他消息来源表明，检查三次样条曲线的拐点（二次样条不能有），并迫使它在那里突破。在我看来，这实际上导致了结果变差，它使用更多的观点和近似看起来并不像忽略拐点那么接近，所以我忽略它们。“
确实如此，拐点（立方的二阶导数）是不够的。但是，如果考虑到三次函数的一阶导数局部极值（最小值，最大值），以及这些全部的力断裂，那么子曲线都是二次的，并且可以用二次方程来表示。
我测试了下面的函数，它们按预期工作（找到立方体的所有临界点并将立方体划分为向下立方体）。当绘制这些子曲线时，曲线与原始立方体完全相同，但由于某些原因，当子曲线绘制为二次曲线时，结果几乎是正确的，但不完全正确。
所以这个答案不是对问题的严格帮助，但这些函数为立方到二次转换提供了一个起点。
要找到当地的极端和拐点，以下get_t_values_of_critical_points()应提供它们。所述
function compare_num(a,b) {
if (a < b) return -1;
if (a > b) return 1;
return 0;
}
function find_inflection_points(p1x,p1y,p2x,p2y,p3x,p3y,p4x,p4y)
{
var ax = -p1x + 3*p2x - 3*p3x + p4x;
var bx = 3*p1x - 6*p2x + 3*p3x;
var cx = -3*p1x + 3*p2x;
var ay = -p1y + 3*p2y - 3*p3y + p4y;
var by = 3*p1y - 6*p2y + 3*p3y;
var cy = -3*p1y + 3*p2y;
var a = 3*(ay*bx-ax*by);
var b = 3*(ay*cx-ax*cy);
var c = by*cx-bx*cy;
var r2 = b*b - 4*a*c;
var firstIfp = 0;
var secondIfp = 0;
if (r2>=0 && a!==0)
{
var r = Math.sqrt(r2);
firstIfp = (-b + r)/(2*a);
secondIfp = (-b - r)/(2*a);
if ((firstIfp>0 && firstIfp<1) && (secondIfp>0 && secondIfp<1))
{
if (firstIfp>secondIfp)
{
var tmp = firstIfp;
firstIfp = secondIfp;
secondIfp = tmp;
}
if (secondIfp-firstIfp >0.00001)
return [firstIfp, secondIfp];
else return [firstIfp];
}
else if (firstIfp>0 && firstIfp<1)
return [firstIfp];
else if (secondIfp>0 && secondIfp<1)
{
firstIfp = secondIfp;
return [firstIfp];
}
return [];
}
else return [];
}
function get_t_values_of_critical_points(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y) {
var a = (c2x - 2 * c1x + p1x) - (p2x - 2 * c2x + c1x),
b = 2 * (c1x - p1x) - 2 * (c2x - c1x),
c = p1x - c1x,
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c))/2/a,
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c))/2/a,
tvalues=[];
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1 && tvalues.indexOf(t1)==-1) tvalues.push(t1)
if (t2 >= 0 && t2 <= 1 && tvalues.indexOf(t2)==-1) tvalues.push(t2);
a = (c2y - 2 * c1y + p1y) - (p2y - 2 * c2y + c1y);
b = 2 * (c1y - p1y) - 2 * (c2y - c1y);
c = p1y - c1y;
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c))/2/a;
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c))/2/a;
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1 && tvalues.indexOf(t1)==-1) tvalues.push(t1);
if (t2 >= 0 && t2 <= 1 && tvalues.indexOf(t2)==-1) tvalues.push(t2);
var inflectionpoints = find_inflection_points(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y);
if (inflectionpoints[0]) tvalues.push(inflectionpoints[0]);
if (inflectionpoints[1]) tvalues.push(inflectionpoints[1]);
tvalues.sort(compare_num);
return tvalues;
};
而当你有那些临界吨值（它们是从范围0-1），则可以划分到立方部分：
function CPoint()
{
var arg = arguments;
if (arg.length==1)
{
this.X = arg[0].X;
this.Y = arg[0].Y;
}
else if (arg.length==2)
{
this.X = arg[0];
this.Y = arg[1];
}
}
function subdivide_cubic_to_cubics()
{
var arg = arguments;
if (arg.length!=9) return [];
var m_p1 = {X:arg[0], Y:arg[1]};
var m_p2 = {X:arg[2], Y:arg[3]};
var m_p3 = {X:arg[4], Y:arg[5]};
var m_p4 = {X:arg[6], Y:arg[7]};
var t = arg[8];
var p1p = new CPoint(m_p1.X + (m_p2.X - m_p1.X) * t,
m_p1.Y + (m_p2.Y - m_p1.Y) * t);
var p2p = new CPoint(m_p2.X + (m_p3.X - m_p2.X) * t,
m_p2.Y + (m_p3.Y - m_p2.Y) * t);
var p3p = new CPoint(m_p3.X + (m_p4.X - m_p3.X) * t,
m_p3.Y + (m_p4.Y - m_p3.Y) * t);
var p1d = new CPoint(p1p.X + (p2p.X - p1p.X) * t,
p1p.Y + (p2p.Y - p1p.Y) * t);
var p2d = new CPoint(p2p.X + (p3p.X - p2p.X) * t,
p2p.Y + (p3p.Y - p2p.Y) * t);
var p1t = new CPoint(p1d.X + (p2d.X - p1d.X) * t,
p1d.Y + (p2d.Y - p1d.Y) * t);
return [[m_p1.X, m_p1.Y, p1p.X, p1p.Y, p1d.X, p1d.Y, p1t.X, p1t.Y],
[p1t.X, p1t.Y, p2d.X, p2d.Y, p3p.X, p3p.Y, m_p4.X, m_p4.Y]];
}
subdivide_cubic_to_cubics()在上面的代码划分的原始三次曲线到价值t的两部分。由于get_t_values_of_critical_points()将t值作为按t值排序的数组返回，因此可以轻松遍历所有t值并获取相应的子曲线。当你有这些分开的曲线时，你必须将第二个子曲线除以下一个t值。
当所有分割进行时，您都有所有子曲线的控制点。现在只剩下三次控制点转换为二次方。因为所有的子曲线现在都是向下升高的立方体，所以相应的二次控制点很容易计算。第一个和最后一个二次控制点与三次（次曲线）第一个和最后一个控制点相同，中间一个在点P1-P2和P4-P3相交处。
+1。你能建议一个贝塞尔曲线的参考吗？ – denis 2010-01-10 17:02:01
我使用的主要参考文献来自我使用的CAGD类：http://tom.cs.byu.edu/~557/text/第2章介绍了贝塞尔曲线。 – tfinniga 2010-01-11 17:39:25
请问，你有这个'P1 = -1/4 Q0 + 3/4 Q1 + 3/4 Q2 - 1/4 Q3'吗？它工作得很好... – 2012-10-26 15:26:58