将二次曲线转换为三次曲线

Question

看着Convert a quadratic bezier to a cubic?，我终于明白为什么编程老师总是告诉我数学如此重要。可悲的是，我没有听。

任何人都可以提供一个更具体的 - 例如，计算机语言y公式转换二次曲线立方？了解可能存在一些舍入错误，这很好。

鉴于由变量四曲线：

StartX, StartY 
ControlX, ControlY 
EndX, EndY 

要得运行startx，StartY和EndX，恩迪保持不变，但到现在已经有Control1X，Control1Y和Control2X，三次曲线的Control2Y。

是...

Control1X = StartX + (.66 * (ControlX - StartX)) 
Control2X = EndX + (.66 * (ControlX - EndX)) 

由于用于计算Control1Y和Control2Y相同的基本功能是什么？

Answer 1

你的代码是正确的，除了你应该使用2.0/3.0而不是0.66。

Answer 2

通过使用

Control1 = (Start + 2 * Control)/3 
Control2 = (End + 2 * Control)/3 

注意避免最舍入误差的是线段使用也可转换为三次Bezier曲线：

Control1 = Start 
Control2 = End 

转换复杂路径混合各种类型的时，这是很方便的曲线（线性，二次，立方）

还有一个基本的变换，用于将椭圆弧转换为立方体（有一些小的不明显的错误s）：你只需要在椭圆quadrans上至少分割圆弧（首先在对称轴的两个正交轴上切割椭圆，或者在椭圆是圆的任意正交轴上切割椭圆，然后表示每个圆弧;当椭圆是一个cricle时，两个焦点在同一个点上，即圆心）混淆。

许多SVG渲染器通过在八分区上添加一个额外的分割来实现这一点（这样您不仅可以精确定位两个主轴所经过的点，而且还可以获得两个对角线轴的双侧（当椭圆（当椭圆不是一个圆时，只将它看作一个只有沿着小轴的线性变换而变平的圆，可以进行相同的计算），因为八分圆的位置也相当精确（cos（π/ 4）= sin（π/ 4）= sqrt（2）/ 2〜0.71，并且因为这种附加分割将允许在圆的45度处穿过对角线的点上的切线的精确呈现）：然后将全椭圆转换为8个圆弧（即椭圆上的8个点和16个控制点）：您几乎不会注意到这些椭圆弧和立方弧之间的差异（您可以创建一个使用t他将Bezier分割成线性片段列表时计算的相同的“扁平化误差”，然后使用经典的快速Bresenham算法对线段进行绘制）。

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这种变换的任意路径时要在给定的距离来导出从路径其它曲线，“缓冲器”的特别是曲线，特别是当这些路径必须被转换为“笔划”用是有用定义“笔画宽度”：您需要计算两条“内”和“外”曲线，然后专注于如何转换定位器/按钮/方块/圆角，然后在适当距离处切割长定位器（匹配“斜接限制“因子乘以”行程宽度“）。

更先进的渲染也将使用由相切圆表示斜角时，有两条弧线，而不是两个片段之间的角落（这是绘制可爱地理地图有用）...

转换任意路径混合件，椭圆和贝塞尔曲线只有立方体是计算精确图像的必要步骤，而放大时不会出现过多的缺陷。当您的“描边”缓冲区必须采取某些效果（如计算短划线），然后增强结果使用半透明像素或子像素来平滑渲染的笔画（只有当所有内容都被平铺为线段时，平滑才容易计算出来，并且如果仅管理仅包含幼体的路径，则可以更容易地开发alsos ic beziers：如果需要，它可以很容易地并行化，并通过硬件加速）。