比方说，我有一个Bezier curveB(u)，如果我增加以恒定的速度我没有获得沿着曲线costant高速运动u参数，因为u参数和点之间的关系得到的评估曲线不是线性的。贝塞尔三次曲线：以匀加速度移动
我已阅读并实施了David Eberly的article。它解释了如何沿着参数曲线以恒定速度移动。
假设我有一个功能F(t)其作为输入，在时间t返回速度值的时间值t和速度函数sigma，我可以得到沿曲线a costant速度运动，以恒定的速率变化吨参数：B(F(t))
我使用的是文章的核心是如下功能：
float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.
float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
float u = umin; // initial condition
t = tmin; // initial condition
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// The divisions here might be a problem if the divisors are
// nearly zero.
float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
t += h;
u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
}
return u;
}
它可以让我计算出的曲线参数u使用所提供的时间t和西格玛功能。 速度西格马是costant现在功能正常工作。如果西格玛代表统一加速度，我会从中得到错误的值。
下面是一个直贝塞尔曲线的例子，其中P0和P1是控制点，T0是切线。曲线的定义：
[x,y,z]= B(u) =(1–u)3P0 + 3(1–u)2uT0 + 3(1–u)u2T1 + u3P2
比方说，我想知道在时间t = 3沿曲线的位置。 如果我的等速：
float sigma(float t)
{
return 1f;
}
和下面的数据：
V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;
我可以analitically计算位置：
px = v0 * t = 1 * 3 = 3
如果我解决使用我的贝塞尔样条相同的方程和上面的算法n =5我得到：
px = 3.002595;
考虑到数值上的近似值，这个值非常精确（我做了很多测试。我省略了细节，但贝塞尔曲线的实现很好，曲线本身的长度使用Gaussian Quadrature进行精确计算。
现在，如果我尝试将西格马定义为统一的加速功能，我会得到不好的结果。 考虑以下数据：
V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;
我可以计算时的粒子将使用线性运动方程到达P1：
L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L/(V1 + V0) = 2 * 10/3 = 6.6666666
具有t我可以计算加速度：
a = (V1 - V0)/(t1 - t0) = (2 - 1)/6.6666666 = 0.15
我有所有数据来定义我的西格马函数：
float sigma (float t)
{
float speed = V0 + a * t;
}
如果我analitically解决这个问题，我期望一个粒子的速度以下时t =3后：
Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45
和位置将是：
px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675
但是，如果我用它计算以上算法，位置结果如下：
px = 4.358587
那是相当不同的fr嗡，我期待。
很抱歉，如果有人有足够的耐心阅读它，我会很高兴。
你有什么建议？我错过了什么？任何人都可以告诉我我做错了什么？
编辑： 我想用3D Bezier曲线。这样定义的：
public Vector3 Bezier(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float a_3 = a_2 *a;
float t_2 = t * t;
Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;
return point;
}
，衍生：
public Vector3 Derivative(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float t_2 = t * t;
float t6 = 6f*t;
Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;
return der;
}
算法给你什么t = 6.6666 ...？它是10的值，即L还是另一个？ – lmsteffan 2013-03-15 22:42:47