解决三维多边形网格的最佳对齐问题

我试图实现几何模板引擎。其中一个部分是采用原型多边形网格，并将实例与大对象中的某些点对齐。解决三维多边形网格的最佳对齐问题

所以，问题是这样的：给定多边形网格中某些（可能是所有）顶点的三维点位置，找到一个缩放旋转，以最小化变换的顶点和给定点位置之间的差异。如果有帮助，我也有一个可以保持固定的中心点。 vert和3d位置之间的对应关系是固定的。

我在想这可以通过求解变换矩阵的系数来完成，但我有点不确定如何构建系统来解决。

一个例子是一个立方体。原型将是单位立方体，以原点为中心，以VERT指数：

4----5 
|\ \ 
| 6----7 
| | | 
0 | 1 | 
\| | 
    2----3

的VERT位置的一个例子，以适应：

V0：1.243,2.163，-3.426
V1：4.190，-0.408，-0.485
V2：-1.974，-1.525，-3.426
V3：0.974，-4.096，-0.485
V5：1.974,1.525,3.426
V7：-1.243，-2.163,3.426

因此，考虑到样机和这些点，我该如何找到一个比例系数，以及关于X，Y旋转和Z将减少垂直和那些位置之间的距离？这种方法最好是可以推广到任意网格，而不仅仅是一个立方体。

来源

2009-11-17 tfinniga

假设你有所有点和它们对应，则可以通过求解最小二乘问题微调匹配：

minimize Norm(T*V-M)

其中T是你正在寻找的变换矩阵，V是适合的顶点，M是原型的顶点。规范是指Frobenius规范。 M和V是3×N矩阵，其中每列是原型的顶点的3向量和拟合顶点集合中的对应顶点。 T是一个3×3变换矩阵。那么最小化均方误差的变换矩阵是inverse(V*transpose(V))*V*transpose(M)。由此产生的矩阵一般不会是正交的（你想要一个没有剪切的矩阵），所以你可以求解一个矩阵Procrustes问题来找到最接近SVD的正交矩阵。

现在，如果您不知道知道哪个给定的点将对应哪个原型点，您要解决的问题称为曲面配准。这是一个活跃的研究领域。例如参见this paper，其中还包括刚性注册，这是您所追求的。

来源

2009-11-17 20:16:06

这是非常有用的，特别是对Procrustes问题的参考。当你从T，V和M移到A和B时，我有点迷惘。他们如何相互关联？ – tfinniga 2009-11-19 19:05:14

对不起，A应该是V，B应该是M.我已经修复了这个问题。 – 2009-11-20 00:38:03

如果您想要在任意3D几何图形上创建网格，这不是通常的做法。

你应该看看八叉树网格生成技术。如果您使用真正的3D基元，这意味着四面体而不是立方体，那么您将获得更好的成功。

如果您的几何图形是3D物体，您将拥有的仅仅是一个表面描述。确定“最佳”内部点是没有意义的，因为你没有任何内容。你会希望他们被安排在内部的四面体不会太扭曲，但这是你能做的最好的。

来源

2009-11-17 23:16:37 duffymo

这是一个好点。在我的情况下，拓扑是非常重要的，而不是世界一致，这就是为什么我想要一个模板系统..我的输出将是一个细分曲面的控制笼。如果我不需要有一个好的拓扑结构，我可能会去隐式曲面/行军多维数据集路线。 – tfinniga 2009-11-18 03:56:23

解决三维多边形网格的最佳对齐问题

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