Bézier曲线，Loop和Blinn风格

Question

几天前我开始高效地绘制贝塞尔曲线，并且我发现了由Charles Loop和Jim Blinn开发的这个方法，它看起来很有趣。在经过大量的算法实验之后，我似乎无法让它能够渲染三次曲线。 Quadratics很好，没有问题。

我发现的唯一的资源至今如下：

GPU Gems 3 Chapter 25

Curvy Blues

Resolution Independent Curve Rendering using Programmable Graphics Hardware

为了让测试快速启动和运行，我在做这个XNA。基本上，我将纹理坐标与顶点传递给GPU，应用透视变换并使用像素着色器中所有文章中提到的公式来渲染最终结果。如何，问题（我认为）在我如何计算纹理坐标奠定了。查看此代码：

public void Update() 
{ 
    float a1 = Vector3.Dot(p1, Vector3.Cross(p4, p3)); 
    float a2 = Vector3.Dot(p2, Vector3.Cross(p1, p4)); 
    float a3 = Vector3.Dot(p3, Vector3.Cross(p2, p2)); 

    float d1 = a1 - 2 * a2 + 3 * a3; 
    float d2 = -a2 + 3 * a3; 
    float d3 = 3 * a3; 

    float discr = d1 * d1 * (3 * d2 * d2 - 4 * d1 * d3); 

    if (discr > 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Serpentine; 

     float ls = 3 * d2 - (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3); 
     float lt = 6 * d1; 
     float ms = 3 * d2 + (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3); 
     float mt = 6 * d1; 

     TexCoord1 = new Vector3(ls * ms, (float)Math.Pow(ls, 3), (float)Math.Pow(ms, 3)); 
     TexCoord2 = new Vector3((3 * ls * ms - ls * mt - lt * ms)/3, ls * ls * (ls - lt), ms * ms * (ms - mt)); 
     TexCoord3 = new Vector3((lt * (mt - 2 * ms) + ls * (3 * ms - 2 * mt))/3, (float)Math.Pow(lt - ls, 2) * ls, (float)Math.Pow(mt - ms, 2) * ms); 
     TexCoord4 = new Vector3((lt - ls) * (mt - ms), -(float)Math.Pow(lt - ls, 3), -(float)Math.Pow(mt - ms, 3)); 
    } 
    else if (discr == 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Cusp; 
    } 
    else if (discr < 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Loop; 
    } 
} 

原谅这个烂摊子，它只是一些测试代码。 p1 ... p4是世界空间中的控制点，TexCoord1 ... TexCoord4是相应的纹理坐标。这是对GPU Gems文章中所述内容的复制。

这里有一些问题，首先在计算a3时，我们对这两个参数都使用p2，这当然总是会产生一个（0,0,0）向量，并且总会得到该点和p3的点积给我们0。这非常没用，所以他们为什么会在文章中提到这一点？

这当然会使discr错误，我们甚至不能确定它是什么类型的曲线。

经过一段时间的摆弄这段代码之后，我决定尝试完成他们在Loop和Blinn论文中完成的原因。从那我得到这样的事情：

public void Update() 
{ 
    Matrix m1 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m2 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m3 = new Matrix(
     p4.X, p4.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 
    Matrix m4 = new Matrix(
     p3.X, p3.Y, 1, 0, 
     p2.X, p2.Y, 1, 0, 
     p1.X, p1.Y, 1, 0, 
     0, 0, 0, 1); 

    float det1 = m1.Determinant(); 
    float det2 = -m2.Determinant(); 
    float det3 = m3.Determinant(); 
    float det4 = -m4.Determinant(); 

    float tet1 = det1 * det3 - det2 * det2; 
    float tet2 = det2 * det3 - det1 * det4; 
    float tet3 = det2 * det4 - det3 * det3; 

    float discr = 4 * tet1 * tet3 - tet2 * tet2; 

    if (discr > 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Serpentine; 

     float ls = 2 * det2; 
     float lt = det3 + (float)((1/Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4)); 
     float ms = 2 * det2; 
     float mt = det3 - (float)((1/Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4)); 

     TexCoord1 = new Vector3(lt * mt, (float)Math.Pow(lt, 3), (float)Math.Pow(mt, 3)); 
     TexCoord2 = new Vector3(-ms * lt - ls * mt, -3 * ls * lt * lt, -3 * ms * mt * mt); 
     TexCoord3 = new Vector3(ls * ms, 3 * ls * ls * lt, 3 * ms * ms * mt); 
     TexCoord4 = new Vector3(0, -ls * ls * ls, -ms * ms * ms); 
    } 
    else if (discr == 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Cusp; 
    } 
    else if (discr < 0) 
    { 
     Type = CurveTypes.Loop; 
    } 
} 

猜猜看，那也没有用。不管怎样，现在discr似乎至少有点正确。至少它有正确的标志，当控制点排列成尖头时，它是零。尽管我仍然得到相同的视觉效果，除了曲线随机消失一段时间（像素着色器公式始终大于零）并在将控制点移回更多方形后返回。这里是像素着色器代码的方式：

PixelToFrame PixelShader(VertexToPixel PSIn) 
{ 
    PixelToFrame Output = (PixelToFrame)0; 

    if(pow(PSIn.TexCoords.x, 3) - PSIn.TexCoords.y * PSIn.TexCoords.z > 0) 
    { 
    Output.Color = float4(0,0,0,0.1); 
    } 
    else 
    { 
    Output.Color = float4(0,1,0,1); 
    } 

    return Output; 
} 

这是关于我现在可以想到的所有有用的信息。有谁知道发生了什么事？因为我用完了。

Answer 1

我正在看文件和你的代码，并且它接近了你错过了M3矩阵的乘法。

在使用它计算行列式之前，应将p1，p2，p3和p4坐标放置在矩阵中并乘以M3矩阵。 例如。

Matrix M3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0, 
    -3, 3, 0, 0, 
    3, -6, 3, 0, 
    -1, 3, -3, 1); 
Matrix B = Matrix(
    p1.X, p1.Y, 0, 1, 
    p2.X, p2.Y, 0, 1, 
    p3.X, p3.Y, 0, 1, 
    p4.X, p4.Y, 0, 1); 
Matrix C = M3*B; 

然后您使用C矩阵的每一行的坐标为M1到M4矩阵在你的代码。行的第一个和第二个值是x，y坐标，最后一个是w坐标。

最后，纹理坐标矩阵需要被M3的逆矩阵所代替，例如：M3 。

Matrix invM3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0, 
    1, 0.3333333, 0, 0, 
    1, 0.6666667, 0.333333, 0, 
    1, 1, 1, 1); 
Matrix F = Matrix(
    TexCoord1, 
    TexCoord2, 
    TexCoord3, 
    TexCoord4); 
Matrix result = invM3*F; 

结果矩阵的每一行对应于坐标所需的着色器中的纹理。

我自己还没有实现它，所以不能保证它会解决你的问题。这只是我在阅读论文后注意到的在执行过程中丢失的内容。

我希望这会有所帮助，如果我错了，请告诉我，因为我会很快尝试这个。