如何计算垂直于矢量的圆？

给定XYZ空间中的两个点（P1和P2），创建一个给定半径的管。为了做到这一点，我需要计算两个点周围的圆的点数，使得圆与P1→P2垂直（并且彼此平行）。一个圆的dx/dy/dz可用于制作其他圆。代码的形式如下所示：如何计算垂直于矢量的圆？

function circle(radius, segments, P1, P2) { 
    // 3D circle around the origin, perpendicular to P1P2 
    var circle = []; 
    var Q = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1], P2[2] - P1[2]]; 
    for (var i = 0; i < segments; i++) { 
    var theta = 2*Math.PI*segment/i; 
    var dx = mysteryFunctionX(Q, theta, radius); 
    var dy = mysteryFunctionY(Q, theta, radius); 
    var dz = mysteryFunctionZ(Q, theta, radius); 
    circle.push([dx, dy, dz]); 
    } 
    return circle; 
    }

每个神秘功能需要什么计算？

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2016-04-21 Michael Schade

我发现这是link您可能会发现有用的，因为这video

，如果你正在处理的角度那么它看起来像你要个参数的路线。

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2016-04-21 06:10:05

如在埃德的帖子链接中指出，如果你有向量u和v是垂直的轴线Q，并且彼此，每个长度为1，则点

P + cos(theta)*u + sin(theta)*v

是，因为θ在0和2pi之间，在与Q垂直的平面上具有中心P的圆上的点。

对于给出Q，找出u和v应该是什么可能有点棘手。一种方法是使用Householder反射器。找到一个将（1,0,0）映射为Q的倍数的反射器是直接的。如果我们将这个反射器应用于（0,1,0）和（0,0,1），我们将得到矢量u和v如上所述。代数是有点繁琐，但下面的C代码做的工作：

static void make_basis(const double* Q, double* u, double* v) 
{ 
double L = hypot(Q[0], hypot(Q[1], Q[2])); // length of Q 
double sigma = (Q[0]>0.0) ? L : -L; // copysign(l, Q[0]) if you have it 
double h = Q[0] + sigma; // first component of householder vector 
double beta = -1.0/(sigma*h); // householder scale 
    // apply to (0,1,0)' 
double f = beta*Q[1]; 
    u[0] = f*h; 
    u[1] = 1.0+f*Q[1]; 
    u[2] = f*Q[2]; 
    // apply to (0,0,1)' 
double g = beta*Q[2]; 
    v[0] = g*h; 
    v[1] = g*Q[1]; 
    v[2] = 1.0+g*Q[2]; 
}

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2016-04-21 15:20:25 dmuir

明确地说，'[0]'，'[1]'和[2]是'x'，'y'， z'，分别？ –

@NicHartley是的 – dmuir

谢谢转发埃德和dmuir - 帮助。这是我所做的似乎工作的代码：

function addTube(radius, segments, P1, P2) { 
    // Q = P1→P2 moved to origin 
    var Qx = P2[0] - P1[0]; 
    var Qy = P2[1] - P1[1]; 
    var Qz = P2[2] - P1[2]; 
    // Create vectors U and V that are (1) mutually perpendicular and (2) perpendicular to Q 
    if (Qx != 0) { // create a perpendicular vector on the XY plane 
    // there are an infinite number of potential vectors; arbitrarily select y = 1 
    var Ux = -Qy/Qx; 
    var Uy = 1; 
    var Uz = 0; 
    // to prove U is perpendicular: 
    // (Qx, Qy, Qz)·(Ux, Uy, Uz) = Qx·Ux + Qy·Uy + Qz·Uz = Qx·-Qy/Qx + Qy·1 + Qz·0 = -Qy + Qy + 0 = 0 
    } 
    else if (Qy != 0) { // create a perpendicular vector on the YZ plane 
    var Ux = 0; 
    var Uy = -Qz/Qy; 
    var Uz = 1; 
    } 
    else { // assume Qz != 0; create a perpendicular vector on the XZ plane 
    var Ux = 1; 
    var Uy = 0; 
    var Uz = -Qx/Qz; 
    } 
    // The cross product of two vectors is perpendicular to both, so to find V: 
    // (Vx, Vy, Vz) = (Qx, Qy, Qz)×(Ux, Uy, Uz) = (Qy×Uz - Qz×Uy, Qz×Ux - Qx×Uz, Qx×Uy - Qy×Ux) 
    var Vx = Qy*Uz - Qz*Uy; 
    var Vy = Qz*Ux - Qx*Uz; 
    var Vz = Qx*Uy - Qy*Ux; 
    // normalize U and V: 
    var Ulength = Math.sqrt(Math.pow(Ux, 2) + Math.pow(Uy, 2) + Math.pow(Uz, 2)); 
    var Vlength = Math.sqrt(Math.pow(Vx, 2) + Math.pow(Vy, 2) + Math.pow(Vz, 2)); 
    Ux /= Ulength; 
    Uy /= Ulength; 
    Uz /= Ulength; 
    Vx /= Vlength; 
    Vy /= Vlength; 
    Vz /= Vlength; 
    for (var i = 0; i < segments; i++) { 
    var θ = 2*Math.PI*i/segments; // theta 
    var dx = radius*(Math.cos(θ)*Ux + Math.sin(θ)*Vx); 
    var dy = radius*(Math.cos(θ)*Uy + Math.sin(θ)*Vy); 
    var dz = radius*(Math.cos(θ)*Uz + Math.sin(θ)*Vz); 
    drawLine(P1[0] + dx, P1[1] + dy, P1[2] + dz, // point on circle around P1 
      P2[0] + dx, P2[1] + dy, P2[2] + dz) // point on circle around P2 
    } 
    }

我敢肯定，有很多方法可以缩短代码并使其更高效。我使用Three.JS在线创建了一个简短的视觉演示，在http://mvjantzen.com/tools/webgl/cylinder.html

来源

2016-04-22 04:56:36

如何计算垂直于矢量的圆？

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