在找到两个平面相交的线的情况下，需要取两个平面法线的叉积。这个交叉乘积简单地取矩阵的行列式：如何找到两架超平面相交的平面？
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
其中（x，y，z）是每个平面的法向量。结果是一个平行于相交线的矢量。从那里你需要找到一个位于两架飞机上的点。这两个部分结合起来给你一个完全定义的线。
这怎么能延伸到在飞机上相交的超平面？我会假设我需要采取类似矩阵的行列式，但我想到的矩阵：
h i j k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2
不是方矩阵。另外，我不知道如何找到两个超平面上的一点。
任何人都可以向我解释如何找到超平面的交叉平面？
谢谢你的时间！
您不必为此计算行列式，只需执行简单变量替换即可得到相交平面。举例来说，如果你有2个超平面：
3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2
然后，您可以隔离w（或任何其他变量）：
w = 2 - 2x + 3y - 2z
而且第一个等式中替换：
3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10
其结果如下：
17x - 17y + 16z - 14 = 10
现在你有你的十字路口飞机。只是简单的数学。
完整的4D平面表示法基于两个方程式，首先找到(x, y, z)值解决17x - 17y + 16z - 14 = 10，然后使用w = 2 - 2x + 3y - 2z计算w。
但是这并没有给出飞机在4D空间中的位置。就好像你用两个相交的线在同一条线上试着这种方法一样。当然，你会得出一条线的方程。但是，您没有3D空间中的线条公式，这真的是您想要的。例如，x + y + z = 1和x + 2y + 3z = 2。通过你的方法，我会找到z = 1-x-y。然后x + 2y + 3（1-x-y）= 2。这给出2x + y = 1。但这不是3D空间中的交叉线，这就是我们正在寻找的。 – 2012-04-29 03:25:36
实际上它给了你四个维度的平面位置。在我的例子中，使用两个方程获得完整的平面描述，首先找到求解[3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10]的（x，y，z）值，然后计算“w”使用[w = 2 - 2x + 3y - 2z]。你将以构成飞机的所有4D点结束。 – 2012-04-29 13:39:47
啊是的。你说得很对。非常感谢你！ – 2012-04-30 03:32:51
简单变量替换的答案不正确。 3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10本身就是四维空间中的三维超平面，并不代表四维空间中两个给定三维超平面的交集。等式少一个变量的事实不会降低对象的维度。
对于类比：y = 7仍然是2d中的一维线，就像y = x + 7一样。而z + y = 5仍然是3D中的二维平面，就像x + y + z = 5一样。
变量替换在3D中不起作用，我们按照概述进行交叉产品，并且它在4D中不起作用。需要2个方程来表示4D中的2D对象（两个3D超平面的交集是2D对象）。对于比喻，告诉我单个“方程”，它映射为2D中的一个点。 y = 5x + 2是直线，y = x是直线，x = 6是直线，y = 0是直线。即使简单的方程y = 1是一个3D超平面，如果我们在4D。去除变量不是获得2D中0D点，3D中1D线或4D中2D 2D相交的方程。所有这些都需要两个同时真正的方程来定义它们。不能只是替换变量。
我更新了答案，以澄清4D表示基于两个等式，而不仅仅是一个，正如我在12月4日13：39发表的评论中所解释的那样[ – 2017-07-02 15:36:19
您需要设置与超平面相对应的矩阵系统（Ax = b），然后查看解的等级。这将告诉我们它是否有解决方案，如果是的话，是否有点/线/平面等。
我有一个问题：这是真的“存在R N 3-暗淡hyperlanes^4，使得它们之间的交叉点是一个平面，对于所有正整数n”
也许这将是更适合到http://math.stackexchange.com/。 – cmbuckley 2012-04-29 14:51:45