从法向矢量给出的平面到XY平面的坐标映射

Question

所以，我有这个算法来计算3D平面与法向矢量给出的平面的截面。

但是，我目前的问题是，横截面是由三维点组成（全部位于给定平面上）并显示它，我需要将此坐标映射到XY平面。

如果平面法线类似于（0,0，c） - 这就完美了 - 我只是复制x和y坐标而丢弃z。

这里是我的问题：由于我不知道如何转换任何其他平原，任何人都可以给我任何暗示，我现在该怎么办？

Answer 1

你窗格可通过正常的矢量

n=(xn,yn,zn) 

对于坐标变换定义，我们需要2个基向量和零点窗格

基向量

我们选择那些“自然地“装配到x/y窗格（稍后参见边缘情况）：

b1=(1,0,zb1) 
b2=(0,1,zb2) 

我们想

​​（C const的标量）

，以确保这两个是真正立足

现在解决这个问题：

b1 x b2= (0*zb2-zb1*1,zb1*0-1*zb2,1*1-0*0) = (zb1,zb2,1) 
zb1*c=xn 
zb2*c=yn 
1*c=zn 

c=zn, 
zb2=yn/c=yn/zn 
zb1=xn/c=xn/zn 

b1=(1,0,yn/zn) 
b2=(0,1,xn/zn) 

和规范它

bv1=(1,0,yn/zn)*sqrt(1+(yn/zn*yn/zn)) 
bv2=(0,1,yn/zn)*sqrt(1+(xn/zn*xn/zn)) 

An边缘情况是，当zn = 0时：在这种情况下，法向矢量平行于x/y窗格，并且不存在自然基矢量。在这种情况下，您必须通过美观POV选择基底b1和b2矢量，并通过相同的解决方案流程或只选择bv1和bv2。

零点

你不会说锚点在OQ的窗格，但它需要从平行窗格的无限族区分你的窗格。

如果你的定位点（0,0,0），这是为坐标变换一个完美的锚点和您的面板上有

x*xn+y*yn+z*zn=0, 
(y0,y0,z0)=(0,0,0) 

如果没有，我假设你有（XA的锚点，ya，za）并且您的窗格有

x*xn+y*yn+z*zn=d 

with d const标量。自然地适合将是窗格的点，即由原始零点的正常投影所限定到窗格：

P0=(x0,y0,z0) 

与

(x0, y0, z0) = c * (xn,yn,zn) 

解决这个反对

x*xn+y*yn+z*zn=d 

给出

c*xn*xn+c*yn*yn+c*zn*zn=d 

和

c=d/(xn*xn+yn*yn+zn*zn) 

从而

P0=(x0,y0,z0)=c*(xn,yn,zn) 

被发现。

最终转化

由代表你的窗格的每一个点（即你想显示这些点）作为

P0+x'*bv1+y'*bv2 

具有x“和y”是新的坐标来实现的。既然我们知道P0，bv1和bv2，这是相当微不足道的。如果我们不在边缘情况下，我们在bv1.y和bv2.x中有零点，进一步减少了问题。

x'和y'是您想要的新坐标。