在什么情况下，多项式的泰勒级数是必要的？

Question

我很难理解为什么使用泰勒级数函数来获得函数的近似值，而不是在编程时只使用函数本身。如果我可以告诉我的电脑计算e ^（。1），它会给我一个确切的值，为什么我会采取一个近似值？

Answer 1

泰勒级数通常不用于近似函数。通常使用某种形式的极大极小多项式。

泰勒级数收敛速度慢（它需要许多条件，从而获得所需的精度）和效率低下（它们是围绕着他们为中心，不太准确远离它点附近更准确）。泰勒级数的最大用途可能在数学课程和论文中，它们可用于检查函数的性质和学习微积分。

为了近似函数，经常使用极大极小多项式。最小最大多项式对于特定情况（函数要近似的间隔，多项式的可用度）具有最小可能的最大误差。通常没有找到最小多项式的解析解。它们可以用数字找到，使用Remez algorithm。 Minimax多项式可以根据特定需求进行定制，例如最小化相对误差或绝对误差，在特定时间间隔内近似函数等等。 Minimax多项式比泰勒级数需要更少的项来获得可接受的结果，并且它们在整个间隔内“扩散”了误差，而不是在中心更好，末端更差。

当调用exp函数计算e ^X，你可能使用了极小多项式，因为有人为你做的工作，并构建一个库例程估算多项式。大多数情况下，唯一的算术计算机处理器可以做的是加法，减法，乘法和除法。所以其他功能必须从这些操作构建。前三个给出了多项式，而多项式足以近似许多函数，如正弦，余弦，对数和指数运算（带有一些额外的将事物移入和移出浮点值的指数域的操作）。分部增加了有用的功能，这对函数如arctangent很有用。

Answer 2

有两个原因。首先也是最重要的 - 大多数处理器不具有像指数，对数等复杂操作的硬件实现......在这种情况下，编程语言可能提供用于计算这些操作的库函数 - 换句话说，有人使用泰勒级数或其他近似值为你。

其次，你可能有，即使不是语言支持功能。

我最近想用查找表与插值得到一个角度，然后计算罪（）和cos（）的角度。麻烦的是它是一个没有浮点和没有三角函数的DSP，所以这两个函数真的很慢（软件实现）。相反，我将sin（x）放在表格中而不是x中，然后用y = sqrt（1-x * x）的泰勒级数来计算cos（x）。这个泰勒系列在我只需要5个术语的范围内是精确的（分母都是两个幂的！），并且可以使用纯C实现在固定点上，并生成比我能想到的任何其他方法都快的代码。