使用（d + 1）点（或更少）创建d维的球体

Question

假设我在D维空间中有N个点;其中N可以是从4到D + 1的数字。

我想要创建由这N个点定义的最小可能球体，或换句话说，就是包含所有N个点的最小球体（它完全穿过所有这些球体）。

解决方案的变量是中心和半径。

我与矩阵不好，我想这个问题需要他们？

Answer 1

我相信你正在寻找一个（最小）circumsphere为您的积分x。正如你所建议的，这样一个对象可以通过一些线性代数来计算。

给定一组的m点x在n尺寸(m <= n+1)，使得：

x = [x_11, x_12, ..., x_1n] 
    [x_21, x_22, ..., x_2n] 
    . 
    . 
    . 
    [x_m1, x_m2, ..., x_mn] 

这是可能的写下方程半径R的公共领域，在X = [X_1,X_2,...,X_n]中心，通过各通分在x：

(x_11 - X_1)^2 + (x_12 - X_2)^2 + ... + (x_1n - X_n)^2 = R^2  (1) 
(x_21 - X_1)^2 + (x_22 - X_2)^2 + ... + (x_2n - X_n)^2 = R^2  (2) 
. 
. 
. 
(x_m1 - X_1)^2 + (x_m2 - X_2)^2 + ... + (x_mn - X_n)^2 = R^2  (m) 

扩大每个方程中的二次项，减去(1)从方程(2)--(m)，并做一个小的操作，导致了一组线性方程的用于中心X：

M * X = B 

其中：

M = [x_11-x_21, x_12-x_22, ..., x_1n-x_2n] 
    . 
    . 
    . 
    [x_11-x_m1, x_12-x_m2, ..., x_1n-x_mn] 

B = [x_11^2-x_21^2 + x_12^2-x_22^2 + ... + x_1n^2-x_2n^2] * (1/2) 
    . 
    . 
    . 
    [x_11^2-x_m1^2 + x_12^2-x_m2^2 + ... + x_1n^2-x_mn^2] * (1/2) 

注意M为(m-1) x n矩阵，而B是一个(m-1) x 1载体。

显然，当m = n+1时，矩阵是正方形的，并且中心X有一个唯一的解决方案，完全描述了与点x相关的环。 （半径可以从X到任何x_i的距离获得）。

当m < n+1解决方案是非唯一的，并有一个无限的环球家庭。在这种情况下，需要将附加约束添加到矩阵M以提供解决方案。

在你的情况，我认为你可能会希望限制X趴在由点x描述的公共超平面，但我会拥有更多的有点想想这...的