如何从矢量中计算正交平面

Question

我在空间中有一个称为X1的位置。 X1有一个称为V1的速度。我需要构造一个垂直于速度矢量的正交平面。飞机的起源是X1。

我需要将两个边从平面变成两个向量E1和E2。边缘连接在原点。所以三个矢量形成一个轴。

我正在使用矢量数学的GLM库。

Answer 1

通常，您可以使用四个数字定义3D平面，例如Ax + By + Cz = D。你可以将数字的三倍（A，B，C）看作垂直于平面伸出的向量（称为法向量）。法向量n =（A，B，C）只定义了平面的方向，所以根据常数D的选择，可以得到与原点距离不同的平面。

如果我正确理解你的问题，你要找的平面具有法向量（A，B，C）= V1，并且使用点积获得常量D：D =（A，B，C） 。 X1，即D = A X1.x + B X1.y + C * X1.z。

请注意，您也可以使用平面n的几何方程获得相同的结果。 （（x，y，z） - p0）= 0，其中p0是平面上的某个点，在你的情况下是V1。 （（x，y，z）-X1）= 0。

Answer 2

从矢量创建帧的一种方式是使用Householder transformations。这可能看起来很复杂，但代码很短，至少与使用交叉产品一样高效，并且不易发生舍入错误。此外，完全相同的想法在任何维度上都有效。

这个想法是，给定一个向量v，找到一个Householder变换，将v映射到（1,0,0）的倍数，然后将这个变量的反应应用于（0,1,0）和（0 ，0,1）来获得其他帧向量。由于Householder转换是它自己的逆转，并且由于它们易于应用，所以生成的代码非常高效。以下是我使用的C代码：

static void make_frame(const double* v, double* f) 
{ 
double lv = hypot(hypot(v[0], v[1]), v[2]); // length of v 
double s = v[0] > 0.0 ? -1.0 : 1.0; 
double h[3] = { v[0] - s*lv, v[1], v[2]}; // householder vector for Q 
double a = 1.0/(lv*(lv + fabs(v[0]))); // == 2/(h'*h) 
double b; 
    // first frame vector is v normalised 
    b = 1.0/lv; 
    f[3*0+0] = b*v[0]; f[3*0+1] = b*v[1]; f[3*0+2] = b*v[2]; 

    // compute other frame vectors by applying Q to (0,1,0) and (0,0,1) 
    b = -v[1]*a; 
    f[3*1+0] = b*h[0]; f[3*1+1] = 1.0 + b*h[1]; f[3*1+2] = b*h[2]; 

    b = -v[2]*a; 
    f[3*2+0] = h[0]*b; f[3*2+1] = b*h[1];  f[3*2+2] = 1.0 + b*h[2]; 
}