如何指定求解R中的微分方程的最终值（而不是初始值）

Question

我想解决R中的微分方程（deSolve？），我没有初始条件，但只有最终条件的状态变量。如何才能做到这一点？

典型的代码是：ode（times，y，parameters，function ...）其中y是初始条件，函数定义了微分方程。

Answer 1

你的方程time reversible，也就是说，你可以改变你的微分方程，使它们在时间上向后运动吗？最典型的情况是这意味着逆转渐变的标志。例如，对于速率为r（梯度为x = r*x）的简单指数增长模型，翻转该符号将使梯度为-r*x，并生成指数衰减而不是指数增长。

如果是这样，你所要做的就是用你的最终条件作为你的初始条件，改变渐变的符号，你就完成了。

我最初误读你的问题，因为你知道都是的最初和最终条件。这种类型的问题被称为boundary value problem，并需要从标准（更基本）initial-value problems单独的一类数值算法。

library(sos) 
findFn("{boundary value problem}") 

告诉我们，上有几个CRAN R封装（bvpSolve看起来最有前途）为解决这类问题。

Answer 2

给定一个微分方程

y'(t)=F(t,y(t)) 

在其中y(tf)=yf被给定为初始状态的间隔[t0,tf]，可以通过考虑

x(s) = y(tf - s) 
==> x'(s) = - y'(tf-s) = - F(tf-s, y(tf-s)) 
    x'(s) = - F(tf-s, x(s)) 

现在

x(0) = x0 = yf. 

变换此成标准形式

This shou ld很容易使用包装函数进行编码，最后一些列表反转从x到y。

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有些ODE求解器还允许负的步长，使人们可以简单地给时间的y按降序tf建设t0不使用一些中介x。