如何从3点和半径找到球体中心？

Question

我有三个三维点p1，p2和p3以及球体半径。我如何从3点和半径找到球体中心？

我希望有两个3D点作为解决方案，因为有2个球符合要求。

谢谢。

Answer 1

1. 查找包含所有三个点的平面P.在这个平面上，这些点确定了一个三角形。

2. 找到这个三角形周围的圆。让C表示这个圆圈的中心 。

3. 查找行垂直于P和在C.

4. 穿越它在此行中，发现这些2个点与来自 圆的期望的距离。

我忽略了退化情况。

Answer 2

有很多方法可以将其正式化。下面是他们中的一个（基本相同，阿里建议，但更多的数学）：你想找到点

（a）由P1，P2，P3等距，与

（B）的距离为准确R.

首先，找到外接圆按照http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle的中心（见关于“一个三角形的嵌在d维外接圆”的部分）：

p0 = cross(
    dot(p21, p21) * p31 - dot(p31, p31) * p21, 
    n 
)/2/dot(n, n) + p1, 

p21=p2-p1用，p31=p3-p1，n=cross(p21,p31)。

从项目的点（一个）位于上穿过这一点上，和垂直于包含P1，P2，P3的平面，所以它的方程是

p(t) = p0 + n * t 

替代此成

一个线

dist(p1, p)^2 = dot(p - p1, p - p1) = R^2 

得到二次方程

dot(n, n) * t^2 - 2*dot(n, p0-p1) * t + dot(p0-p1, p0-p1) = R^2 

其实，n和(p0-p1)是正交的，所以在左侧的第二加数为0，并且

t1 = sqrt((R^2 - dot(p0-p1, p0-p1))/ dot(n, n)), 
t2 = -sqrt((R^2 - dot(p0-p1, p0-p1))/ dot(n, n)) 

（注意如何p1在p0抵消）。用p(t)代替这些来得到答案。