单位球体上的统一随机（蒙特卡洛）分布

我需要澄清一下算法，为我的宠物射线跟踪仪生成随机值。
我从一个点发射射线。我有这些射线分布的问题：我需要的分布是统一的，但它不是...单位球体上的统一随机（蒙特卡洛）分布

我现在面临的问题是，最初统一的分布是不统一后，我的扭曲结果的空间。

因此，例如，如果极坐标系统生成r和t角度。分布不均匀，并且不均匀：靠近每个极点的空间比靠近赤道的结果密度要大得多。原因很明显：我将均匀分布的点从圆柱空间转换为球形空间。我扭曲了结果。同样的问题是，如果我规范化多维数据集中随机生成的点。

我的想法现在是这样的：我想创建一个四面体，规范其顶点，用中间的点分割每个面（三角形），归一化它并递归地重复，直到我有足够的点。然后我“扭曲”这些点。然后我再次正常化它们。而已。

我知道这种方法不是纯粹的数学蒙特卡洛方法本身，因为除了最后一个步骤外，我没有在任何步骤中使用随机分布。我不喜欢这种复杂性的解决方案。

任何人都可以提出什么更简单，但仍

随机
均匀
快速
简单

谢谢！

编辑：
我需要一个快速的方法，而不是正确的。这就是为什么我要问蒙特卡洛。提供的答案是正确的，但不是很快。四面体的方法很快，但不是很“随机”=>不正确。
我真的需要更适合的东西。

来源

2009-12-03 avp

Here's的算法，使您可以生成随机分布在单位球面上的点。

来源

2009-12-03 16:29:57

我不知道这是否任何意义可言，但在这里你去：

Uniform Fractional Part: A Simple Fast Method for Generating Continuous Random Variates

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2009-12-03 16:26:21

你是对的，这不是真的答案，但它是非常有趣的阅读。 – avp 2009-12-03 18:05:45

对于球面部分，在极限之间的phi（极角）和cos(theta)（对于θ方位角）均匀地生成角度。

在伪代码：

phi = phi_low_limit  + rand()*(phi_high_limit  - phi_low_limit) 
ct = cos(theta_high_limit) + rand()*(cos(theta_low_limit) - cos(theta_high_limit)) 
// The order is inverted here because cos heads down for increasing theta 
theta = arccos(ct)

这是说反转Jacobian并在那些坐标是空间均匀地产生规则的特例。

注意：请注意，我使用的是来自David Norman line的phi和theta的相反约定。

另请注意：这实际上并不是最快的方法，而是一个说明总体原则的方法。

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2009-12-03 17:33:00 dmckee

除非你是光线跟踪只有微不足道的场景，你的渲染时间是否真的被采样时间控制？如果不是，那么可能不值得优化，但值得阅读和理解其他答案中给出的统一抽样技术。另外，您的样本不需要非常随机，可以很好地估计您要采样的任何功能。您可能需要使用quasirandom编号序列进行调查，如Halton sequence。你的四面体细分思想并不差。对于大多数场景来说，它应该导致分布良好的点应该比统一的伪随机样本更好，但在某些情况下可能会导致可怕的伪像。

无论如何，你真的应该参考ompf.org上的论坛。那边有一些超级硬核射线追踪的书呆子。

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2009-12-05 08:52:36

嘿，真的很好链接！ – avp 2009-12-07 13:08:58

我的意思是，ompf.org =） – avp 2009-12-07 13:09:31

这里有一个Java实现，我在过去使用：

public static double[] randomPointOnSphere(Random rnd) 
{ 
    double x, y, z, d2; 
    do { 
     x = rnd.nextGaussian(); 
     y = rnd.nextGaussian(); 
     z = rnd.nextGaussian(); 
     d2 = x*x + y*y + z*z; 
    } while (d2 <= Double.MIN_NORMAL); 
    double s = Math.sqrt(1.0/d2); 
    return new double[] {x*s, y*s, z*s}; 
}

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2011-01-24 16:33:34 finnw

@DouglasZare如果'd2 finnw 2014-07-25 17:36:46

糟糕，我的错误。 – 2014-07-25 18:36:52

你真的需要随机分布或者甚至超过球体分布？

然后我会建议ZCW角度，这些角度均匀地分布在整个球体上并且快速计算。其他方法是TheSydneyOperaHouse（SOPHE）和Repulsion。（搜索repulsion.c）排斥方法相当不错，但速度很慢：它在一个球体上均匀迭代地分布点。幸运的是，它只能做一次。

这是用于晶体学和核磁共振，因为对于粉末模式，使用均匀分布与随机分布（您需要更少的点）更快。

Here是ZCW的Python实现。

更多细节在这些文章：

Investigations of a nonrandom numerical method for multidimensional integration，程，维拉B.和Henry H.铃川，Jr.和沃尔夫斯堡，最大
Computer simulations in solid-state NMR. III. Powder averaging，马蒂亚斯伊甸园

来源

2011-10-31 10:04:11 mrossi

单位球体上的统一随机（蒙特卡洛）分布

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