用于广义特征值的Python eig不返回正确的特征向量

Question

试图使用scipy的linalg.eig来解决广义特征值问题。然后我检查我得到的解决方案，它似乎没有正确的特征向量返回。另外，文档建议返回的矢量是标准化的，情况并非如此（尽管这并不会影响我）。

下面是样品基质：

>>> a 
array([[ 2.05630374e-01, 8.89584493e-10, -1.46171715e-06], 
     [ 8.89584493e-10, 2.38374743e-02, 9.43440334e-06], 
     [ -1.46171715e-06, 9.43440334e-06, 1.39685787e-02]]) 
>>> b 
array([[ 0.22501692, -0.07509864, -0.05774453], 
     [-0.07509864, 0.02569336, 0.01976284], 
     [-0.05774453, 0.01976284, 0.01524993]]) 

运行EIG我得到：

>>> w,v = linalg.eig(a,b) 
>>> w 
array([ 3.08431414e-01+0.j, 5.31170281e+01+0.j, 6.06298605e+02+0.j]) 
>>> v 
array([[-0.26014092, -0.46277857, -0.0224057 ], 
     [ 0.76112351, -0.59384527, -0.83594841], 
     [ 1.  , -1.  , 1.  ]]) 

，然后测试结果：

>>> a*v[:,0] 
array([[ -5.34928750e-02, 6.77083674e-10, -1.46171715e-06], 
     [ -2.31417329e-10, 1.81432622e-02, 9.43440334e-06], 
     [ 3.80252446e-07, 7.18074620e-06, 1.39685787e-02]]) 
>>> w[0]*b*v[:,0] 
array([[-0.01805437+0.j, -0.01762974+0.j, -0.01781023+0.j], 
     [ 0.00602559-0.j, 0.00603163+0.j, 0.00609548+0.j], 
     [ 0.00463317-0.j, 0.00463941+0.j, 0.00470356+0.j]]) 

我认为那两个人将是平等的，但他们不是......我也尝试过使用eigh而不是成功。将不胜感激任何帮助，我明显失去了一些东西。

Answer 1

通过查看输出的形状可以看到发生了什么。你的a*v[:,0]应该给一个向量，所以你为什么得到一个3x3阵列？答案：因为你没有进行矩阵乘法，所以你正在做组件式数组乘法。

督察，你做

>>> a * v[:,0] 
array([[ -5.34928759e-02, 6.77083679e-10, -1.46171715e-06], 
     [ -2.31417334e-10, 1.81432623e-02, 9.43440334e-06], 
     [ 3.80252453e-07, 7.18074626e-06, 1.39685787e-02]]) 
>>> w[0] * b * v[:,0] 
array([[-0.01805437+0.j, -0.01762974+0.j, -0.01781023+0.j], 
     [ 0.00602559-0.j, 0.00603163+0.j, 0.00609548+0.j], 
     [ 0.00463317-0.j, 0.00463941+0.j, 0.00470356+0.j]]) 

当你真的想

>>> a.dot(v[:,0]) 
array([-0.05349434, 0.0181527 , 0.01397614]) 
>>> w[0] * b.dot(v[:,0]) 
array([-0.05349434+0.j, 0.01815270+0.j, 0.01397614+0.j]) 

或

>>> matrix(a)*matrix(v[:,0]).T 
matrix([[-0.05349434], 
     [ 0.0181527 ], 
     [ 0.01397614]]) 
>>> w[0]*matrix(b)*matrix(v[:,0]).T 
matrix([[-0.05349434+0.j], 
     [ 0.01815270+0.j], 
     [ 0.01397614+0.j]]) 

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