如何用有损近似确定计算点的贝塞尔控制点？

Question

我有一个关于计算曲线贝塞尔控制的问题。问题是，如下图所示：

我有一个排序列表中的红点，包括C和D.我需要找到F和E的问题是，不是每个点有在曲线上（曲线不需要通过任何点，除了开始和结束）。它只是一个“近似”。

我已经阅读以下内容：

• Finding the control point of bezier curves - 只有水平对齐手柄的工作，我没有一个中点，从启动。也确实只有找到用户可见的控制点，而不是F和E
• Parametric reconstruction of a NURBS curve - 如果你想红点之间进行插值这很好，但是这不是我的目标

所以我就如何解决思路这就是：

1. 通过C和d
2. 如果点的个数是偶数计算从线的最远点，看看列表中的前一个和下一个点，确定哪一个是远离假想线并计算它们之间的中点
3. 三点不足以得到曲线的形状，我需要的值在25％和75％。幸运的是，有几种方法可以确定：均匀间隔方法，弧长和离散方法。
4. 现在我有5点（开始，25％，中，75％，结束）来描述我的曲线。我知道每个人的t值。曲线应该是这样的：

从此，我需要点莫名其妙地插入贝塞尔公式，然后反向计算控制点......怎么样？

在此先感谢您的任何提示。

Answer 1

我写下了如何在"Creating a curve from three points"部分的“Bézier曲线入门”中做到这一点，尽管您可能还需要阅读前两节，因为它们解释了支持理论和代码。

重要信息是for any given t, there is a fixed point on the line {start,end} that connects to your on-curve point Bezier(t)。在下面的图片中，例如，点C是总是与开始和结束的距离相同。根据您放置控制点的位置，曲线的样子并不重要：对于t=0.5，C始终位于开始和结束之间的中间位置。此外，{C，Bezier（t）}和{Bezier（t），{}}的长度之间的比率是固定的，所以如果你知道第一个，你做了什么，那么你立即知道A去哪里，所以你有所有需要的信息。

就这样，只要你喜欢，你唯一的自由参数是切线在t，或者更准确地说，左，右插的距离，你可以重建曲线。没有超过三分，这几乎是一个猜测的价值，有几个“美学上令人满意”的选项，但没有一个适用于你的情况：你有一堆围绕你所选择的值的点，那么你可以对切线做出有根据的猜测基于你所选择的t值的点，并简单地重建立方贝塞尔使用它。

随着本地支柱在t：

但考虑到你的数据，你可以得到一个更好的选择。

Answer 2

最简单的是最小二乘法逼近。如果B（t）是贝塞尔的方程，P _我是近似点，叔_我是相应的参数值，要最大限度地减少LSQ = ∑ _我 || B（吨_我 ）-P _i || = ∑ _我（（B _X（吨_我）-P _XI） +（（B _Ý（吨_我）-P _义）^{2 。}）您可以将F和E的坐标作为变量，所以你送四个线性方程组，在四个变量：∂/∂ _{˚F X}（LSQ）= 0，∂/∂ _˚FÝ（LSQ）= 0，∂/∂ _{ë X}（LSQ）= 0，∂/∂ _ëÝ（LSQ）= 0。他们可以使用标准方法解决。要找到相应的参数值，您可以使用弦长近似法，该法给出了很好的结果：t _i = || P _i - P _i-1 ||/total，total = || DP _n || + ∑ || P _i -P _i-1 || （采取P = C）。如果您需要最佳近似值，则可以使用迭代算法来细化参数。