多维网格的逆插值

Question

我正在开发一个插值样本数据的项目{(x_i,y_i)}，其中x_i的输入域位于4D空间中，而输出y_i位于3D空间中。我需要为两个方向生成两个查找表。我设法生成了4D -> 3D表。但是3D -> 4D是一个棘手的问题。样本数据不是常规网格点，它不是一对一映射。有没有已知的方法来处理这种情况？我在网上做了一些搜索，但是我发现只有3D -> 3D映射，这不适合这种情况。谢谢！

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要回答Spektre的问题：

X(3D) -> Y(4D)是这样1X -> nY

我要生成一个表，对于任何给定X，我们可以找到Y值。样本数据不占用X的所有域。但没关系，我们只需要样本数据域内的点的准确性。例如，我们有样品数据，如{(x1,x2,x3) ->(y1,y2,y3,y4)}。有可能我们也有一个样本数据{(x1,x2,x3) -> (y1_1,y2_1,y3_1,y4_1)}。但是没关系。我们需要一个空间为(a,b,c)的桌子X，它对应于空间Y中的一个(e,f,g,h)。可能有不止一个选择，但我们只需要一个。 （很抱歉的符号混淆如果有的话）

一种可能的方式来处理这样的：既然我已经从Y->X建立了流畅的映射，我可以用牛顿法或任何其他方法来扭转搜索点y对于任何给定x。但它不够准确，耗时。因为我需要搜索表中的每个点，并且错误是模型错误与搜索错误的总和。

所以我想知道这是可能直接找到映射到3

Answer 1

1. ，而不是插在做这样的搜索的样本数据您正在寻找预测/映射

   正如你所说你有投影X(3D) -> Y(4D)这是不是一对一在你的情况下，那么这是什么情况是(1 X -> n Y)或(n X -> 1 Y)或(n X -> m Y)？

2. 要使用查找表

   我以为你只是想为所有X给出Y与非(1 to 1)映射的问题是，你可以用查找表，只有当它有

   • 所有有效点
   • 或映射在X和一些几何或数学对称性（对点之间的距离例如空间相似，并且映射是连续的）

   您不能在通用映射点之间进行插值，所以问题是您想要的是哪种映射/投影？

3. 首先1-> 1突起/映射插值

   1. 如果X->Y投影映射是适用于内插

      然后3D->4D使用三线性插值。找到最接近8点（每个在其轴线以形成网格超立方体），并在所有4尺寸在它们之间内插

   2. 如果X<-Y投影映射是适用于内插

      然后4D->3D使用夸线性插值。找到最接近的16点（每个点在它的轴上形成网格超立方体），并在所有3维度之间插入它们。

4. 现在来谈谈1->n或n->m预测/映射

   这完全取决于我什么都不知道的投影/映射属性。尝试提供一个数据集的例子，并添加一些图像将是最好的。

[EDIT1] 1 X < - n个Y

我仍然会用夸线性插值。你仍然需要搜索你的Y表，但如果你将它分组为4D网格，那么它应该很容易。

1. 找到Y - 表16最近点到你的输入Y点

   这些点应该是最近点到你Y在所有轴系每个+/-方向。在3D它看起来像这样：

   

   • 红点是你输入Y点
   • 蓝点是找到最接近的点（网格），他们并不需要如此对称的图像。

   请不要我画4D例子意义:)（至少对于清醒的头脑）

2. 插值

   找到相应X点。如果每个点有多个选择，则选择离他们更近的一个......现在你应该有16 X点和16+1 Y点。然后从Y点，你只需要计算从你的输入Y点沿线的距离。这些距离被用作线性插值的参数。他们正常化<0,1>其中

   • 0表示“左”，1分表示“右”一点
   • 0.5表示正中间

   您将需要在每个Y -domain尺寸的这个标量距离。现在只需计算沿线性插值的所有X点，直到获得X域中的相应红色点。

   With tri-linear interpolation（3D）有4+2+1=7线性插值（如图像）。对于四元线性插值（4D）有8+4+2+1=15线性插值。

3. 线性插值

   X = X0 + (X1-X0)*t 
   

   • X被内插点
   • X0,X1是 '左'， '右' 指向
   • t是距离参数<0,1>