完成一个矩形矩阵，以便产生几个方形可逆的井状矩阵

如果我有一个矩形矩阵C，带有线性独立行（参见在帖子底部的第一个观察中的预期数值的信息），其暗格是qxn，使得q<=n和我想制作几个正方形可逆矩阵T=[C;R]。完成一个矩形矩阵，以便产生几个方形可逆的井状矩阵

这里重要的一点是矩阵T应该很好地适应条件（条件编号接近1）。

我写了一个非常inneficient的方式解决该问题的代码：

clear all 
C=[1 0]; %example 
tol=0.1; 

n=size(C,2); 
q=size(C,1); 

singularity=1; 
it=0; 
while(singularity==1) 
    a=-5; 
    b=5; 
    R=a + (b - a) .* rand(n - q, n); %generates randomic R matrix with numerical values beetwen 'a' and 'b' 
    M=[C;R]; 
    if(abs(cond(M)-1)<tol) %cond(M) computes the condition number of M 
     singularity=0; 
    end 
    it=it+1; 
end

考虑C=[1 0]算法的范围为700〜2K迭代（收敛然而，过程运行速度非常快，因为指令很简单。）

现在，考虑到C=[1 0 0]我被迫中断处理，因为迭代超过2kkk。

观察：我的矩阵C的值的数值usuaally将是小的正整数（从一到十），小racional编号从0至5和零。

重要：对于一个给定矩阵C我做不只需要一个矩阵R，这将使M良好条件。在我的应用程序中，我将需要几个矩阵R（尽可能多我想要）为一个给定的C，所以这就是为什么我试图生成R随机，但不幸的是在一个非常低效的方式。

备注：当然，我能找到一个R，M为好的条件，然后其他好条件矩阵可以是多以前的一个，但我想尝试其他方法。

来源

2016-11-26 gustavoreche

代替嵌套的循环，你可以写'R = A +（B - A） * rand（n - q，n）;'生成'R' – rahnema1

好吧，现在代码更简单 – gustavoreche

，效率更高！ – rahnema1

的一种方法将是使用C”（C的转置）的QR decompositon使得

C' = Q * (R) 
     (0)

，其中R是qxq上三角的和非单一的，并且Q是正交的。然后，对于任何非奇异（NQ）×（NQ）矩阵B，和任何QX（NQ）矩阵A

Q * (R A) 
    (0 B)

将是非奇异并且将具有相同的第一Q列为C”，使得这个转置就是你想要的。

为了分析的条件数，我认为这将是最简单的取A为零，因为那时我们有

|| D || = || R || + || B || 
|| inv(D) || = || inv(R) || + || inv(B) || 
where 
D = (R 0) 
    (0 B)

来源

2016-11-27 14:18:37 dmuir

完成一个矩形矩阵，以便产生几个方形可逆的井状矩阵

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