线 - 在3D世界中的圆形交叉点测试？

Question

我有一个3d世界，我有几个2d的圆形面向天空铺设在地上。

如何检查一条线是否会与其中一个圆圈相交？

我试图寻找，但我得到的是这种相交测试的： http://mathworld.wolfram.com/Circle-LineIntersection.html

，但它不是我所需要的，这里是像我的意思： http://imageshack.us/m/192/8343/linecircleintersect.png

Answer 1

如果你是在一个坐标系，其中地面由z = c给定，对于某个常数，则可以简单地计算z = c的线的x，y坐标。现在对于原点圆圈x0，y0和半径R，您只需检查是否

（x-x0）^ 2 +（y-y0）^ 2 < = R^2。

如果这是真的，则该线与圆相交。

Answer 2

在3D意义上，你首先关心的不是一个圆，而是关于圆所在的平面。然后你可以找到射线（线）和平面（盘）之间的交点。

我喜欢用点，平面和线的齐次坐标，我希望你熟悉矢量点·和交叉产品×。这里是方法：

平面（圆盘）由点向量r=[rx,ry,rz]和法线方向向量n=[nx,ny,nz]定义。他们一起组成一架飞机W=[W1,W2]=[n,-r·n]。

线（射线）由两个点向量r_A=[rAx,rAy,rAz]和r_B=[rBx,rBy,rBz]定义。它们一起形成L=[L1,L2]=[r_B-r_A, r_A×r_B]

交点被定义P=[P1,P2]=[L1×W1-W2*L2, -L2·W1]或膨胀出作为

P=[ (r_B-r_A)×n-(r·n)*(r_A×r_B), -(r_A×r_B)·n ] 

该点的坐标被发现r_P = P1/P2其中P1具有三个元件和P2是标量的线。

一旦你有了坐标，你可以通过d=sqrt((r_p-r)·(r_p-r))检查与圆心的距离并检查d<=R其中R是圆的半径。注意：标量乘*和积之间的符号的差异·

如果你肯定知道圆趴在地上（r=[0,0,0]）和面向上（n=[0,0,1]），那么你可以做出很多简化到的高于一般情况。

[参考：Plucker Coordinates]

更新：

当使用地面（具有+ Z向上）作为平面（其中圆圈躺下），然后使用r=[rx,ry,0]和n=[0,0,1]和上述交点简化为

r_p = [ rBy-rAy, rAx-rBx, 0]/(rAy*rBx-rAx*rBy) 

其中您可以检查到圆心的距离。