在Mathematica中找到一个ODE的特征值和特征函数

Question

假设给定一个边界条件y'（0）= 0和y'（1）= 0的ODE y“+ ay = 0。如何使用Mathematica找到特征值和特征函数？如果给定一个更一般的ODE，让我们假设y''+（y^2 - 1/2）y = 0在相同的边界条件下？

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这个问题已经通过以下西蒙的评论回答。

Answer 1

DSolve只给出了 “通用” 的参数，这就是为什么

DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0 && y'[0] == 0 && y'[1] == 0, y, x] 

只返回平凡{{y -> Function[{x}, 0]}}解决方案。

如果您考虑$ -a^2 $为与0速度的边界条件的二阶导数算子的特征值，第一解决

In[1]:= sol = DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0, y, x] 
Out[1]= {{y -> Function[{x}, C[1] Cos[a x] + C[2] Sin[a x]]}} 

然后执行使用Reduce 的边界条件（其中，简化的结果，我也认为a != 0 和sol是不平凡）

In[2]:= Reduce[y'[0] == 0 && y'[1] == 0 && 
       a != 0 && (C[1] != 0 || C[2] != 0) /. sol, 
       a] // FullSimplify 

Out[2]= Element[C[3], Integers] && C[2] == 0 && C[1] != 0 && 
     ((a == 2*Pi*C[3] && a != 0) || Pi + 2*Pi*C[3] == a) 

它说，特征向量是proportio对于$ a = 2 n \ pi $或$ a =（2 n + 1）\ pi $并且$ n $是一个整数，nal to $ \ cos（a x）$。

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至于你的问题的第二个方程，它才有意义谈论特征向量线性算。对于非线性微分方程，特征向量可用于检查临界点附近的线性行为。