控制精度溢出和损失，同时乘以双打

Question

QUES：

我有大量浮点数（〜万数），小数点后各自具有6位数字。现在，所有这些数字的乘法将产生大约60,000个数字。但双倍范围仅适用于15位数字。输出产品必须在小数点后有6位精度。

我的方法：

我想10^6这些数字相乘，然后将它们相乘，后来由10^12分他们。

我也想过用这些数字乘以数组来存储它们的数字，然后把它们转换成十进制数。但是这也看起来很麻烦并且可能不会产生正确的结果。

有没有更容易的方法来做到这一点？

Answer 1

我想这些数字乘以10^6，然后乘以它们，然后再除以10^12。

这只会进一步降低准确性。在浮点数中，大数表示大致与小数字一样。只让你的数字更大意味着你正在做19999乘法（和一个除法）而不是9999乘法;它不会神奇地给你更有意义的数字。

该操作只有在防止部分产品进入低于正常范围的情况下才有用（在这种情况下，建议乘以2的幂数以避免由于乘法导致的准确度损失）。在你的问题中没有迹象表明会发生这种情况，没有示例数据集，也没有代码，所以只能提供下面的通用解释：

浮点乘法在不下溢或溢出时表现非常好。在第一阶中，你可以假设相对误差加起来，所以乘以10000的值产生的结果是相对于（*）数学结果的9999个机器。

上述问题的解决方案（无代码，无数据集）是对中间乘法使用更宽泛的浮点类型。这既解决了下溢或溢出的问题，又为最终结果留下了相对的准确性，从而一旦舍入到原始浮点类型，该产品最多只能有一个ULP出错。

根据您的编程语言，这种更宽的浮点型may be available aslong double。对于10000次乘法，在x86处理器中广泛使用的80位“扩展双倍”格式将显着改善事情，只要您的编译器将此80位格式映射到浮点，您几乎不会看到任何性能差异类型。否则，您将不得不使用软件实现，例如MPFR'的任意精度浮点格式或double-double格式。 （*）实际上，相对误差是复合的，因此相对误差的实际界限更像（1 +ε），其中ε是机器的ε值。而且，实际上，相对误差通常会相互抵消，因此您可以预期实际相对误差会像理论最大误差的平方根那样增长。