计算所有未成年人的决定（和未成年人的未成年人）

Question

我有一个可逆的埃尔米特矩阵和平方子矩阵快速路，定义：

我需要知道行列式每。

有没有在MATLAB中计算这个快速方法？

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这里是糟糕的方式做到这一点：

• 遍历[1:2^K]
• 转换回路指数二元矢量vSubset
• 计算det(mtxM(vSubset,vSubset))

该走慢了，看起来很浪费，因为你可以建立一个决定因素父母矩阵来自未成年人的决定因素。

Answer 1

一种方法是使用Cholesky因式分解。我使用下面的上三角形，以便

M = U'*U 

其中'是伴随的而U是上三角形。 注意det（M）= square（| det（U）|）并且U的行列式是它的对角元素的乘积。

我们可以通过附加这样的行和列计算从M个得到的矩阵的因子：

M~ = (M n) 
    (n' p) 
U~ = (U x) 
    (0 y) 

其中

U'*x = n 
y = sqrt(p - x'*x) 

等DET（M - ）= DET（M ）*（p - x'* x）

我不确定使用此的最佳方法。有一个非常简洁的递归方式：伪C代码

void det_step(double* U, double det, int high_ix) 
{ 
int ix; 
    for(ix=high_ix+1; ix<dim; ++ix) 
    { // notionally add row, col ix 
    // augment U, update det (and store in the output) 
    det_step(U, det, ix); 
    } 
} 
void dets(double* M, int dim) 
{ 
int ix; 
    for(ix=0; ix<dim; ++ix) 
    { // compute U and det for matrix consisting of just row/col ix 
    // store det in the output 
    det_step(U, det, ix); 
    } 
}