有条件的独立硬币

Question

我一直在想这个问题一段时间了，我在概率图模型的讲座中遇到过这个问题。 https://class.coursera.org/pgm/lecture/preview

的问题是非常简单的：

有两个硬币一个是正常的另外一个朝首脑9偏置出10

我们挑一个硬币折腾吧，老师的要求是，如果头部首次出现时，头部再次出现的概率会很高。

我们可以告诉第二个硬币更有可能被贝叶斯选中。 但在我看来，两者应该是独立的

任何人都可以帮助我吗？

Answer 1

要完整定义该过程，让我们补充说明每个硬币的吞吐率为1/2。

设X1和X2为前两个投掷。 “头第一次出现”写为“X1 = H”。

我们有：

P（X2 = H | X1 = H）= P（X2 = H & X1 = H）/ P（X1 = H）

P（X1 = H）= 1/2×1/2×1/2×9/10 = 14/20 = 0.7

P（X1 = H & X2 = H）= 1/2×（1/2）2 + 1/2 ×（9/10）2 = 53/100

所以，P（X 2 = H | X1 = H）= 53/70≃0.757> 0.7

这意味着P（X2 = H | X1 = H），在Heads出现在第一个位置的情况下，在第二个折腾中获得Heads的概率高于在第一个折腾时Heads出现的概率。

支持直觉，你可以考虑另一种情况： 我们挑一个硬币折腾吧，尾巴显示出来的第一次。所以你认为这可能不是被挑选出来的有偏见的硬币。相反，如果头部出现，那么选择偏好的硬币更可能。如果是这样，那么获得头部更可能。还有另外一个过程：你选择一个硬币，但不是随机的：你选择硬币的概率较高。然后你做一个折腾。这种折腾的可能性更大。