Gramm Schmidt QR因式分解不能正确返回Q和R

Question

我已经实现了Gramm-Schmidt QR因式分解的MATLAB函数。 Q的逆应该等于它的倒数，但它不是，我不明白为什么。我甚至试着用别人的功能，这是相同的，结果是一样的。这是我的函数：

function [Q R] = gramschmidt(A) 
    [n n] = size(A); 

    for i = 1:n 
     R(i,i) = norm(A(:, i)); 
     Q(:, i) = A(:, i)/R (i, i); 

     for j = i + 1 : n 
      R(i, j) = Q(:, i)' * A(:, j); 
      A(:, j) = A(:, j) - Q(:, i) * R(i, j); 
     end 
    end 
end 

`

Answer 1

首先，我想你的意思说是Q的共轭转应该等于它的倒数，即它是一个酉矩阵。

其次，是什么让你觉得你的函数返回的Q不是单一的？让我们检查。

A = randn(20,20); 
[Q, R] = gramschmidt(A); 

diff = @(X,Y) max(abs(X(:)-Y(:))); % element-wise max abs difference 
diff(Q'*Q, eye(size(A))) 
ans = 
    1.7764e-15 

正如你所看到的，它是一个很好的精度。另外，为了以防万一，Matlab有一个内置的高效qr函数来执行这个分解，它也处理矩形矩阵，而不仅仅是像你的实现一样的方形矩阵。