两条线之间的最短距离

Question

假设L1和L2是3D中的两条线，假设P1和P2是L1，L2和L2上的两个点。使得距离（P2-P1）是L1和L2之间的最短距离。矢量（P2-P1）是否需要垂直于L1和L2？如果是这样，那为什么？ 2D空间也是如此吗？

Answer 1

是的，这是真的。想象这条线，垂直于L1和L2。有两种情况，L1和L2是平行的（在这种情况下，两者之间的所有垂直线是等效的，或者它们就像安装在同一根轴上的两个螺旋桨一样，但角度不同）轴（这是唯一的垂直于两个螺旋桨）表示最短距离，因为无论沿螺旋桨移动哪个方向远离轴，都明显增加了距离，因为任何这样的线将形成直角三角形的第三个斜边，一边等于轴本身，另一侧等于沿着螺旋桨的运动

如果你沿两个螺旋桨移动，显然，如果你从相反的方向离开轴，你正在增加距离。螺旋桨几乎是对齐的，并且你沿着两个螺旋桨在同一方向移动，两点之间的界线ts将再次取直角三角形的斜边，其中一边是两个螺旋桨的自旋平面之间的距离，另一边是两个螺旋桨之一的旋转平面中的线。

Answer 2

采取函数L1×L2 - > \ r，对于两个点P和Q在L1和L2分别给出它们之间的平方距离：

f: L1×L2 -> \R 
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P) 

其中(Q - P)是一个向量和.是标量产品。由于函数f在（P1，P2）处具有最小值，所以在（P1，P2）处的微分df/dP和df/dQ为零。更重要的是：

df/dP = dP . (Q - P) 
df/dQ = dQ . (Q - P) 

如果一个评估（P1，P2），其中的差别是零，即让这些方程：

DP。 （P2-P1）= 0 dQ。 （P2-P1）= 0

dP和dQ是分别与L1和L2共线的向量。这两个方程表示必然地，矢量P2 - P1垂直于L1和L2的方向矢量。