计算矢量的导数

我有以下功能（维维安尼的曲线）：计算矢量的导数

Phi  = @(t)[ cos(t)^2, cos(t)*sin(t), sin(t) ]

只是检查，它是有效的：

s = linspace(0,T,1000); 
plot3(cos(s).^2, cos(s).*sin(s), sin(s));

如何衍生功能Phi（也许多次），其代表Viviani的曲线点t其中t从0变为2*pi？我是否定义了Phi适合这样的衍生物？我试过diff，但它并没有保留我所需要的Phi。

如果二阶导数是Phi_d2，我需要得到它的值（例如在t = 0）。

我该如何做到这一点？

来源

2013-12-16 Dyin

你想获得它的数值或分析（需要符号数学工具箱）？为什么不用手？ – thewaywewalk

要在没有任何附加工具箱的情况下进行数值计算，可以使用简单的有限差分（http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference），例如'（Phi（1.1）-Phi（.9））/。2'来计算t = 1.0时的一阶导数 – tim

这里有三种方法可以实现这一点。第一种使用subs，第二使用symfun，第三个使用complex step differentiation：

% Using subs 
syms t 
Phi = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
Phi_d2 = diff(Phi,t) 
double(subs(Phi_d2,t,0)) 

% Using symfun 
syms t 
Phi(t) = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
Phi_d2 = diff(Phi,t) 
double(Phi_d2(0)) 

% Using complex step differentiation 
Phi = @(t)[cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
h = 2^-28; 
cdiff = @(f,x)imag(f(x(:)+1i*h))/h; 
Phi_d2 = cdiff(Phi,0)

你可以找到执行第一级和第二级复杂的一步分化on my GitHub: cdiff功能。请注意，复阶分解对于高阶导数不适用。当只有一个非微分函数或需要快速数值一阶导数时最好。

来源

2013-12-16 15:27:25 horchler

+1我不知道你可以做'Phi（t）= ...'来制作一个symfun。谢谢。 – ja72

@ ja72：这是一个稍微更新的功能，所以旧版本不支持它 - 我认为它是与Matlab R2012a一起推出的。 – horchler

必须与开沟枫木和mupad一致。我认为这是一个疏忽，你无法定义任意函数，但是现在你可以用'syms f（x）'，这样你就可以象'diff（1/f（x），x）'这样象征性地评估'-diff F（X）中，x）/ F（X）^ 2'。 – ja72

为了完整起见，数值解，而无需使用任何额外的工具箱：

N = 999; 
t = linspace(0,2*pi,N+1); 
Phi = [cos(t); cos(t).*sin(t); sin(t)]; 
dPhi = gradient(Phi,2*pi/N)

对于非均匀间隔的参数矢量，的gradient第二个参数是由间隔矢量，而不是标量限定。（时间或角度矢量是合适的） - 在这种情况下显然需要分割尺寸。（虽然我不知道为什么。）

所以另外，虽然没有必要：

dX = gradient(Phi(1,:),t); 
dY = gradient(Phi(2,:),t); 
dZ = gradient(Phi(3,:),t); 
dPhi = [dX; dY; dZ];

来源

2013-12-16 15:46:20 thewaywewalk

此处需要't（2）-t（1）'的间距参数，否则您将得到错误缩放的答案。默认情况下，“gradient”的间距为1。而且我没有办法处理非统一的时间向量，只是指出了问题 - 除了解决问题，可能会有问题。 – horchler

此外，对于一阶导数，您会发现复杂的阶梯差异（不需要任何工具箱）比使用'gradient'具有更少的误差。 – horchler

如果您使用'linspace'并且要求准确性，'2 * pi/N'不是正确的间距。应该使用't（2）-t（1）'，因为所有的点都有很大的距离，除了最后一个点之外。 – horchler

计算矢量的导数

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