的Python：无法解决使用odeint与符号函数微分方程

Question

我试图解决这个问题：

其中U是

这里：

s=c*e(t)+e_dot(t) 

and

e(t)=theta(t)-thetad(t) 

和

e_dot(t)=theta_dot(t)-thetad_dot(t) 

其中thetad（希塔需要的话）= SIN（T） - 待跟踪即信号！我试着第一次使用odeint，它在t = 0.4后给出的误差是θ（上面的微分方程的解）平稳地下降到了0， 0并留下。然而，当我试图将mxstep提高到5000000时，我可以得到一些正确的图，直到t = 4.3s。

我想得到一个纯正弦曲线图。那就是我希望theta（上述微分方程的解）跟踪时间即sin（t）。但在t = 4.3秒后无法准确地追踪该点。在这段时间之后，θ（上述微分方程的解）简单地下降到0并停留在那里。

这里是我的代码 -

from scipy.integrate import odeint 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

c=0.5 
eta=0.5 
def f(Y,t): 
    x=Y[0] 
    y=Y[1] 
    e=x-np.sin(t) 
    de=y-np.cos(t) 
    s=c*e+de 
    return [y,-c*(de)-np.sin(t)-eta*np.sign(s)] 

t=np.linspace(0,10,1000) 
y0=[0.5,1.0] 
sol=odeint(f,y0,t,mxstep=5000000) 
#sol=odeint(f,y0,t) 
print(sol) 
angle=sol[:,0] 
omega=sol[:,1] 
error=angle-np.sin(t) 
derror=omega-np.cos(t) 
plt.subplot(4,2,1) 
plt.plot(t,angle) 
plt.plot(t,error,'r--') 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,2) 
plt.plot(t,omega) 
plt.plot(t,derror,'g--') 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,3) 
plt.plot(angle,omega) 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,4) 
plt.plot(error,derror,'b--') 
plt.savefig('signum_graph.eps') 
plt.show() 

Answer 1

由odeint（你发现实现，可能是所有集成商）采用积分是基于这样的假设，你的衍生物（f）是连续的（并具有连续衍生物）在每个步骤中。 signum函数显然打破了这个要求。这会导致误差估计值非常高，无论步长有多小，反过来导致步长过小以及遇到的问题。

达到这一目的有两种常用的解决方案：

1. 选择你的步长，使得标志翻转正好落在了一步。 （这可能会非常乏味）

2. 用非常陡峭的sigmoid代替signum函数，这对大多数应用程序来说应该是很好的，甚至更现实。在代码中，你可以使用

   sign = lambda x: np.tanh(100*x) 
   

   ，而不是np.sign。这里的因子100控制了S形的陡度。选择它足够高，以反映你实际需要的行为。如果选择过高，这可能会对运行时间产生负面影响，因为积分器会将步长调整到不必要的小。

在你的情况，设定绝对值小的公差也似乎是工作，但我不会依靠这样的：

sol = odeint(f,y0,t,mxstep=50000,atol=1e-5)