在MATLAB中找到点和曲线之间的最小距离

Question

我想用MATLAB函数来找到点和曲线之间的最小长度？曲线由一个不太平滑的复杂函数来描述。所以我希望使用现有的matlab工具来计算这个。你碰巧知道吗？

Answer 1

当有人说“其复杂的”答案总是过于复杂，因为我从来不知道你有什么。所以我会介绍一些基本的想法。

如果曲线是已知的非线性函数，则使用符号工具箱开始。例如，考虑函数y = x^3-3 * x + 5，以及x，y平面中的点（x0，y0）=（4,3）。

写下距离的平方。欧几里德距离很容易写。

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = (x - 4)^2 + (x^3 - 3*x + 5 - 3)^2 

所以，在MATLAB中，我会用符号工具箱来完成这个工作。最小距离必须位于一阶导数的根部。

sym x 
distpoly = (x - 4)^2 + (x^3 - 3*x + 5 - 3)^2; 
r = roots(diff(distpoly)) 
r = 
     -1.9126    
     -1.2035    
     1.4629    
     0.82664 + 0.55369i 
     0.82664 - 0.55369i 

我对复杂的根没有兴趣。

r(imag(r) ~= 0) = [] 
r = 
     -1.9126 
     -1.2035 
     1.4629 

哪一个是距离平方的最小值？

subs(P,r(1)) 
ans = 
    35.5086 

subs(P,r(2)) 
ans = 
    42.0327 

subs(P,r(3)) 
ans = 
    6.9875 

这是距离的平方，这里最小化了列表中的最后一个根。考虑到x的最小位置，当然我们可以通过代入y（x）= x^3-3 * x + 5的表达式来找到y。

subs('x^3-3*x+5',r(3)) 
ans = 
     3.7419 

因此，如果曲线可以用上面简单的函数形式写出，那么相当容易。对于仅从飞机上的一组点获知的曲线，您可以使用我的distance2curve实用程序。它可以在n维空间曲线样条插值上找到最接近给定点的点。

对于其他曲线，比如说一个椭圆，解决方案可能最容易通过转换为极坐标来解决，其中椭圆很容易以参数形式写成极角的函数。一旦完成，按照以前的方式写出距离，然后求解导数的根。

要解决的一个难题就是函数描述不太平滑的地方。这是噪音还是非微分曲线？例如，三次样条在某个级别上“不太平滑”。分段线性函数在休息时更不平滑。如果您实际上只是有一组数据点，其中有一些噪音，您必须决定是否消除噪音。你是否希望在平滑近似中找到最接近的点，或者你是否正在寻找插值曲线上的最近点？

有关数据点的列表，如果您的目标是不做任何平滑，那么使用线性插值，我的distance2curve实用程序再次是一个不错的选择。如果你想自己做计算，如果你有足够的数据点，那么你可以通过简单地选择最接近的数据点本身来找到一个很好的近似值，但是如果你的数据不是非常接近的话，这可能是一个很差的近似值。

如果你的问题不在于这些类之一，你仍然可以使用各种方法来解决它，但我需要知道更多关于该问题的细节以获得更多帮助。

Answer 2

有两种方法可以解决这个问题。

最简单的方法，如果你的曲线相当平滑，你不需要精密过高，将工作在密集的多个点来评估你的曲线，简单地找到最小距离：

t = (0:0.1:100)'; 
minDistance = sqrt(min(sum(bxsfun(@minus, [x(t),y(t)], yourPoint).^2,2))); 

更困难的办法是尽量减少t（或x）函数描述的距离

distance = @(t)sum((yourPoint - [x(t),y(t)]).^2); 
%# you can use the minimum distance from above as a decent starting guess 
tAtMin = fminsearch(distance,minDistance); 

minDistanceFitte = distance(tAtMin);