如何解决Python中的函数逼近任务？

Question

考虑线路上的复杂的数学函数[1,15]： F（X）=的sin（x/5）* EXP（X/10）+ 5 * EXP（-x/2）

度数n（w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_nx^n）的多项式由其通过的任何n + 1个不同点唯一地定义。 这意味着其系数w_0，... w_n可以从线性方程组的以下系统来确定：

凡X_1，...，x_n，X_ {N + 1}是点（x_1），...，f（x_n），f（x_ {n + 1}） - 在这些点必须采取的值。

我想要为第三次多项式形成一个线性方程组（即指定系数矩阵A和自由向量b）的系统，它必须与点1，4上的函数f重合，10和15.使用scipy.linalg.solve函数解决这个系统。

A = numpy.array（[[1.,1,1,1,1]，[1.,4.8,64。]，[1.,10.10,100,1000 ]，[1，15，225，3375。]]）

V = numpy.array（3.25，1.74，2.50，0.63]）

numpy.linalg.solve（A， V）

我答错了，这是

因此问题是：是矩阵正确的吗？

Answer 1

不，你的矩阵不正确。

最大的错误是你的第二个子矩阵A。第三项应该是4**2这是16，但你有8.不太重要，你只有两个小数位为常量数组V，但你真的应该有更多的精度。线性方程组有时对提供的值非常敏感，所以尽可能精确地使它们变得精确。另外，最后三项中的四舍五入是很糟糕的：你倒过来了，但你应该四舍五入。如果你真的想保留两位小数（我不推荐）的值应该是

V = numpy.array([3.25, 1.75, 2.51, 0.64]) 

但更好的是

V = numpy.array([3.252216865271419, 1.7468459495903677, 
       2.5054164070002463, 0.6352214195786656]) 

这些变化对A和V我得到的结果

array([ 4.36264154, -1.29552587, 0.19333685, -0.00823565]) 

我得到这两个sympy图，第一个显示你的原始功能，第二个显示你的原始功能，第二个使用近似的三次多项式。

他们看起来接近我！当我计算1,4,10和15的函数值时，最大绝对误差为15，即-4.57042132584462e-6。这比我预期的要大一些，但可能已经足够好了。

Answer 2

它来自数据科学课程吗？ :) 这里几乎是一个通用的解决方案我所做的：

%matplotlib inline 

import numpy as np; 
import math; 
import matplotlib.pyplot as plt; 

def f(x): 
    return np.sin(x/5) * np.exp(x/10) + 5 * np.exp(-x/2) 

# approximate at the given points (feel free to experiment: change/add/remove) 
points = np.array([1, 4, 10, 15]) 
n = points.size 

# fill A-matrix, each row is 1 or xi^0, xi^1, xi^2, xi^3 .. xi^n 
A = np.zeros((n, n)) 
for index in range(0, n): 
    A[index] = np.power(np.full(n, points[index]), np.arange(0, n, 1)) 

# fill b-matrix, i.e. function value at the given points 
b = f(points) 

# solve to get approximation polynomial coefficents 
solve = np.linalg.solve(A,b) 

# define the polynome approximation of the function 
def polinom(x): 
    # Yi = solve * Xi where Xi = x^i 
    tiles = np.tile(x, (n, 1)) 
    tiles[0] = np.ones(x.size) 
    for index in range(1, n): 
     tiles[index] = tiles[index]**index 
    return solve.dot(tiles) 

# plot the graphs of original function and its approximation 
x = np.linspace(1, 15, 100) 
plt.plot(x, f(x)) 
plt.plot(x, polinom(x)) 

# print out the coefficients of polynome approximating our function 
print(solve)