迭代平滑曲线

Question

我一直试图做这一整天。基本上，我有一条线和一个点。我想让曲线通过那个点，但我不想要一条光滑的曲线。我不能定义曲线中的步数，就像这样（小心粗糙mspaint绘图）：

等等。我尝试了各种各样的东西，比如从初始线的中心取出角度，然后在角度位置处将线分开，但是我的长度有问题。我只是将最初的长度除以我所在的步数，但这并不完全正确。

任何人都知道一种方法来做到这一点？

谢谢。

Answer 1

你可能需要自己编码。我认为你可以通过在代码中实现二次贝塞尔曲线函数来实现，可以找到here。你只需要解决一些数值就可以决定你想要的增量。如果你想要一条直线，只求解0和1，并用线连接这些点。如果你想要一个角度的例子，求解0,0.5和1，并按顺序连接点。如果你希望你的第三个例子，解决0，0.25，0.5，0.75，1。它可能是最好把它放在一个循环是这样的：

float stepValue = (float)0.25; 
float lastCalculatedValue; 
for (float t = 0; t <= 1; t += stepValue) 
{ 
    // Solve the quadratic bezier function to get the point at t. 
    // If this is not the first point, connect it to the previous point with a line. 
    // Store the new value in lastCalculatedValue. 
} 

编辑：其实，它看起来像你希望线路通过您的控制点。如果是这种情况，你不想使用二次贝塞尔曲线。相反，你可能需要拉格朗日曲线。这个网站可能会对等式有所帮助：http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Lagrange.htm。但无论哪种情况，您都可以使用相同类型的循环来控制平滑度。

2nd编辑：这似乎工作。只需将numberOfSteps成员更改为所需线段的总数并适当设置点数组。顺便说一下，你可以使用三点以上。它只会分配线段的总数。但是我初始化了数组，以便结果看起来像你最后一个例子。

第3编辑：我更新了一下代码，所以你可以在表单上点击左键添加点并右键点击删除最后一点。另外，我在底部添加了一个NumericUpDown，以便您可以在运行时更改段的数量。

public class Form1 : Form 
{ 
    private int numberOfSegments = 4; 

    private double[,] multipliers; 
    private List<Point> points; 

    private NumericUpDown numberOfSegmentsUpDown; 

    public Form1() 
    { 
     this.numberOfSegmentsUpDown = new NumericUpDown(); 
     this.numberOfSegmentsUpDown.Value = this.numberOfSegments; 
     this.numberOfSegmentsUpDown.ValueChanged += new System.EventHandler(this.numberOfSegmentsUpDown_ValueChanged); 
     this.numberOfSegmentsUpDown.Dock = DockStyle.Bottom; 
     this.Controls.Add(this.numberOfSegmentsUpDown); 

     this.points = new List<Point> { 
      new Point(100, 110), 
      new Point(50, 60), 
      new Point(100, 10)}; 

     this.PrecomputeMultipliers(); 
    } 

    public void PrecomputeMultipliers() 
    { 
     this.multipliers = new double[this.points.Count, this.numberOfSegments + 1]; 

     double pointCountMinusOne = (double)(this.points.Count - 1); 

     for (int currentStep = 0; currentStep <= this.numberOfSegments; currentStep++) 
     { 
      double t = currentStep/(double)this.numberOfSegments; 

      for (int pointIndex1 = 0; pointIndex1 < this.points.Count; pointIndex1++) 
      { 
       double point1Weight = pointIndex1/pointCountMinusOne; 

       double currentMultiplier = 1; 
       for (int pointIndex2 = 0; pointIndex2 < this.points.Count; pointIndex2++) 
       { 
        if (pointIndex2 == pointIndex1) 
         continue; 

        double point2Weight = pointIndex2/pointCountMinusOne; 
        currentMultiplier *= (t - point2Weight)/(point1Weight - point2Weight); 
       } 

       this.multipliers[pointIndex1, currentStep] = currentMultiplier; 
      } 
     } 
    } 

    protected override void OnPaint(PaintEventArgs e) 
    { 
     base.OnPaint(e); 

     Point? previousPoint = null; 
     for (int currentStep = 0; currentStep <= numberOfSegments; currentStep++) 
     { 
      double sumX = 0; 
      double sumY = 0; 
      for (int pointIndex = 0; pointIndex < points.Count; pointIndex++) 
      { 
       sumX += points[pointIndex].X * multipliers[pointIndex, currentStep]; 
       sumY += points[pointIndex].Y * multipliers[pointIndex, currentStep]; 
      } 

      Point newPoint = new Point((int)Math.Round(sumX), (int)Math.Round(sumY)); 

      if (previousPoint.HasValue) 
       e.Graphics.DrawLine(Pens.Black, previousPoint.Value, newPoint); 

      previousPoint = newPoint; 
     } 

     for (int pointIndex = 0; pointIndex < this.points.Count; pointIndex++) 
     { 
      Point point = this.points[pointIndex]; 
      e.Graphics.FillRectangle(Brushes.Black, new Rectangle(point.X - 1, point.Y - 1, 2, 2)); 
     } 
    } 

    protected override void OnMouseClick(MouseEventArgs e) 
    { 
     base.OnMouseClick(e); 

     if (e.Button == MouseButtons.Left) 
     { 
      this.points.Add(e.Location); 
     } 
     else 
     { 
      this.points.RemoveAt(this.points.Count - 1); 
     } 

     this.PrecomputeMultipliers(); 
     this.Invalidate(); 
    } 

    private void numberOfSegmentsUpDown_ValueChanged(object sender, EventArgs e) 
    { 
     this.numberOfSegments = (int)this.numberOfSegmentsUpDown.Value; 
     this.PrecomputeMultipliers(); 
     this.Invalidate(); 
    } 
} 

Answer 2

你可以去周围的其他方法：先找到一个匹配的曲线，然后用积分曲线上画出的线条。例如：

通过以下方式获得该地块：

假设你有三个出发点{x0,0}，{X1，Y1}，{2,0}

然后，您会发现两条相交于{x1，y1}的抛物线曲线，并具有在该点具有最大值的额外条件（用于平滑过渡）。这些曲线是：

yLeft[x_] := a x^2 + b x + c; 
yRight[x_] := d x^2 + e x + f; 

如果我们发现（经过一番演算）：

{c -> -((-x0^2 y1 + 2 x0 x1 y1)/(x0 - x1)^2), 
    a -> -(y1/(x0 - x1)^2), 
    b -> (2 x1 y1)/(-x0 + x1)^2} 

和

{f -> -((2 x1 x2 y1 - x2^2 y1)/(x1 - x2)^2), 
    d -> -(y1/(x1 - x2)^2), 
    e -> (2 x1 y1)/(x1 - x2)^2} 

所以我们有两条曲线。

现在你应该注意到，如果你想要你的点数相等的距离，x1/x2应该是一个有理数。你的步数选择是有限的。您可以从x0开始选择通过x1和x2传递的步骤。 （那些形式为x1 /（n * x2））

而就是这样。现在，根据x1的哪一边，根据点{x，yLeft [x]}或{x，yRight [x]}来形成线条。

注意：您可能选择只绘制一条经过您的三点的抛物线，但在一般情况下会导致高度不对称。

如果点X1是在中间，结果也比较好：