为什么python中解决Xc = y的不同方法在不应该的时候给出不同的解决方案？

Question

我试图解决方形的线性系统Xc=y。我知道解决这个的方法是：

1. 使用逆c=<X^-1,y>
2. 用高斯消元法
3. 使用伪逆

似乎只要我可以告诉大家，这些别不符合我认为的基本事实。

1. 首先通过拟合30次多项式到频率为5的余弦来生成真值参数。所以我有y_truth = X*c_truth。
2. 然后我检查，如果上述三种方法相匹配的真相

我尝试过，但似乎该方法不匹配，我不明白为什么这应该是这样的。

我公司生产的完全可运行的重复性代码：

import numpy as np 
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures 

## some parameters 
degree_target = 25 
N_train = degree_target+1 
lb,ub = -2000,2000 
x = np.linspace(lb,ub,N_train) 
## generate target polynomial model 
freq_cos = 5 
y_cos = np.cos(2*np.pi*freq_cos*x) 
c_polyfit = np.polyfit(x,y_cos,degree_target)[::-1] ## needs to me reverse to get highest power last 
## generate kernel matrix 
poly_feat = PolynomialFeatures(degree=degree_target) 
K = poly_feat.fit_transform(x.reshape(N_train,1)) # generates degree 0 first 
## get target samples of the function 
y = np.dot(K,c_polyfit) 
## get pinv approximation of c_polyfit 
c_pinv = np.dot(np.linalg.pinv(K), y) 
## get Gaussian-Elminiation approximation of c_polyfit 
c_GE = np.linalg.solve(K,y) 
## get inverse matrix approximation of c_polyfit 
i = np.linalg.inv(K) 
c_mdl_i = np.dot(i,y) 
## check rank to see if its truly invertible 
print('rank(K) = {}'.format(np.linalg.matrix_rank(K))) 
## comapre parameters 
print('--c_polyfit') 
print('||c_polyfit-c_GE||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_polyfit-c_GE))) 
print('||c_polyfit-c_pinv||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_polyfit-c_pinv))) 
print('||c_polyfit-c_mdl_i||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_polyfit-c_mdl_i))) 
print('||c_polyfit-c_polyfit||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_polyfit-c_polyfit))) 
## 
print('--c_GE') 
print('||c_GE-c_GE||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_GE-c_GE))) 
print('||c_GE-c_pinv||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_GE-c_pinv))) 
print('||c_GE-c_mdl_i||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_GE-c_mdl_i))) 
print('||c_GE-c_polyfit||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_GE-c_polyfit))) 
## 
print('--c_pinv') 
print('||c_pinv-c_GE||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_pinv-c_GE))) 
print('||c_pinv-c_pinv||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_pinv-c_pinv))) 
print('||c_pinv-c_mdl_i||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_pinv-c_mdl_i))) 
print('||c_pinv-c_polyfit||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_pinv-c_polyfit))) 
## 
print('--c_mdl_i') 
print('||c_mdl_i-c_GE||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_mdl_i-c_GE))) 
print('||c_mdl_i-c_pinv||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_mdl_i-c_pinv))) 
print('||c_mdl_i-c_mdl_i||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_mdl_i-c_mdl_i))) 
print('||c_mdl_i-c_polyfit||^2 = {}'.format(np.linalg.norm(c_mdl_i-c_polyfit))) 

和我得到的结果是：

rank(K) = 4 
--c_polyfit 
||c_polyfit-c_GE||^2 = 4.44089220304006e-16 
||c_polyfit-c_pinv||^2 = 1.000000000000001 
||c_polyfit-c_mdl_i||^2 = 1.1316233165135605e-06 
||c_polyfit-c_polyfit||^2 = 0.0 
--c_GE 
||c_GE-c_GE||^2 = 0.0 
||c_GE-c_pinv||^2 = 1.0000000000000007 
||c_GE-c_mdl_i||^2 = 1.1316233160694804e-06 
||c_GE-c_polyfit||^2 = 4.44089220304006e-16 
--c_pinv 
||c_pinv-c_GE||^2 = 1.0000000000000007 
||c_pinv-c_pinv||^2 = 0.0 
||c_pinv-c_mdl_i||^2 = 0.9999988683985006 
||c_pinv-c_polyfit||^2 = 1.000000000000001 
--c_mdl_i 
||c_mdl_i-c_GE||^2 = 1.1316233160694804e-06 
||c_mdl_i-c_pinv||^2 = 0.9999988683985006 
||c_mdl_i-c_mdl_i||^2 = 0.0 
||c_mdl_i-c_polyfit||^2 = 1.1316233165135605e-06 

为什么呢？它是一台机器精确的东西吗？还是因为当程度很大（大于1）时，错误累积（很多）？老实说，我不知道，但所有这些假设对我来说都很愚蠢。如果有人能够发现我的错误，请随时指出。否则，我可能不会理解线性代数或其他......这更令人担忧。

此外，如果我能得到这个工作的建议，它将不胜感激。我是否：

1. 增加间隔的大小不小于1（大小）？
2. 我可以使用的最大多项式大小度数是多少？
3. 不同的语言......？或者提高精度？

任何建议表示赞赏！

Answer 1

问题是浮点精度。您将数字从0增加到30，然后将它们加在一起。如果你使用无限精度算术来做这些，这些方法会恢复输入。使用浮点运算，精度损失意味着你不能。