余弦相似度空间中的数字

Question

我想在某个范围内表示实数，以便向量空间中的距离较近的数字在向量空间中也较近，可以使用余弦距离来测量近距离。

例如，0-100,9和10之间的余弦相似度应接近1，而9和100的余弦相似度应接近-1。

如何才能实现这样的映射？我正在考虑尝试使用神经网络编码器，但有没有其他方法可以实现这一点。

Answer 1

在2维向量空间的特殊情况下很容易做到。我将说明[0,100]的范围，尽管将其推广到其他区间会很容易。

将单位圆认为是以原点为中心的模拟时钟。将x中的一个点[0,100]映射到第二只手0.3x秒的位置。对于x = 0，秒针指向12，相应的矢量将是<0,1>。对于x = 50，秒针将指向3，而x将映射到<1,0>。对于x = 100，秒针将指向6并且x将映射到<0,-1>。

用于映射的公式为：

f(x) = <sin(1.8*x),cos(1.8*x)> #measured in degrees 

这里是一个Python实现，广义来处理任意间隔：

from math import sin, cos, radians, sqrt 

def to_vector(x,a,b): 
    m = 180/(b-a) 
    theta = radians(m*(x-a)) 
    return (sin(theta),cos(theta)) 

def similarity(v1,v2): 
    dot = sum(x*y for x,y in zip(v1,v2)) 
    norm1 = sqrt(sum(x**2 for x in v1)) 
    norm2 = sqrt(sum(x**2 for x in v2)) 
    return dot/(norm1*norm2) 

例如，

>>> u = to_vector(9,0,100) 
>>> u 
(0.2789911060392293, 0.9602936856769431) 
>>> v = to_vector(10,0,100) 
>>> v 
(0.3090169943749474, 0.9510565162951535) 
>>> w = to_vector(100,0,100) 
>>> w 
(1.2246467991473532e-16, -1.0) 
>>> similarity(v,u) 
0.9995065603657316 
>>> similarity(v,w) 
-0.9510565162951536 

上编辑：这是一个更抽象的方法，可以用于构建任何维度的示例。

以任何连续的一对一映射开始g: [a,b] \rightarrow R^n（其中R^n是n维欧几里德空间）。由于它是一对一的，g(a) != g(b)。假设m是连接g(a)和g(b)的线段的中点。因此m = (g(a) + g(b))/2。定义另一个功能如下：

f(x) = g(x) - m 

不难看出：

1. 如果x和y紧靠在一起，然后f(x)和f(y)之间的余弦相似度接近1

2. 如果x接近a并且y接近bt如果f(x)和f(y)之间的余弦相似性接近-1。

通过适当选择g，你可以构造一些有趣的例子，例如，g可能是R^3中螺旋完整扭曲的参数化。