使用地板（a/b）安全吗？

Question

在许多编程语言中，都有一个名为floor的函数，它采用一个浮点参数（double或single），并返回不大于参数的最大整数。现在我有一个问题：通过调用floor（a/b）来获取不大于a/b的最大整数是否安全？我认为浮点计算可能是不精确的。所以，例如，a/b的确切值可能是2.999999998，但它可能被计算为3.00000000，然后floor（a/b）得到3，这是不正确的。

Answer 1

是的，如果使用IEEE754 binary64格式（即在大多数系统上是典型的C double）。一个示例是当a = 0.9（其中，因为0.9不能由格式来表示，实际上是0.90000000000000002220446049250313080847263336181640625）和b = 0.1（实际上0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625）然后a/b真值实际上是

8.999999999999999722444243843710880301531638075180891038116311176859261171872 ...

然而，这将获得四舍五入为9.0，因为它比以前的浮点数

8.9999999999999982236431605997495353221893310546875

接近

所以floor(a/b)也将是9.0。

Answer 2

它是安全的，如果a和b为整数（小于功率（2，尾数+ 2）的尺寸），或者如果a和b是“精确”来表示。

START_UPDATE

的问题可以重新进入：是有可能有a/b = n与a < n*b？

的说法是相当复杂的，但答案是否定的这个问题：

如果a < n*b然后a <= n*b - eps(n*b)/2。

最坏的情况是，当eps(n*b)/2比2的幂接近，但少，但即使在这种最坏的情况下，你有

a < n*b - n*b*eps(1.0)/4 

所以

a/b exactly evaluated < n - n*eps(1.0)/4 
    a/b exactly evaluated < n - eps(n)/4 

和轮最接近的偶数模式确保：

a/b in floating-point < n 

END_UPDATE

现在假设的a/b准确值是一个整数n用下来，近似a和上近似b。然后a/b可能会在最后一个位置超过1/2单位，因此小于n。因此，a/b = n的确切值，而floor(a/b) = n-1。

以下C++代码返回floor((i/1000)/0.001)与i不同的例外。第一个是0.043/0.001。

#include <iostream> 
#include <cmath> 

int main() { 
    double x, y; 
    for (int i = 0; i < 1000; ++ i) { 
    x = i/1000.0; 
    y = 0.001; 
    if (floor(x/y) != (double) i) 
     std::cout << i << ' ' << floor(x/y) << '\n'; 
    } 
    std::cout.flush(); 
}