指数运算（^）​​后有什么数学运算？

Question

让我们给表达式一些名字：

x+3 = x+1+1+1 // lvl 1 
x*3 = x+x+x // lvl 2 
x^3 = x*x*x // lvl 3 

是什么数学项/真实姓名/主题为拉特年代后3？

像：

x (lvl 4 operation) 3 = x^x^x 
x (lvl 5 operation) 3 = x(lvl 4 operation)x(lvl 4 operation)x 
.. 

在此先感谢。

P.S.以上不是编程代码/语言

Answer 1

Tetration是指数后的下一个hyperoperator。运营商以↑↑ - 或^^（以ASCII表示） - Knuth's notation。

序列中的下一个操作是pentation，然后是hexation，heptation，octation等。Ackermann's three-argument function递归计算这些操作。

╭────────┬────────────────┬─────────────┬───────────────────╮ 
│ Level │  Name  │ Notation │ Ackermann (3-arg) │ 
╞════════╪════════════════╪═════════════╪═══════════════════╡ 
│ 1 │ Successor │ a++ (unary) │ φ(a, 1, 0)  │ 
│ 2 │ Addition  │ a+b   │ φ(a, b, 0)  │ 
│ 3 │ Multiplication │ a×b   │ φ(a, b, 1)  │ 
│ 4 │ Exponentiation │ a↑b   │ φ(a, b, 2)  │ 
│ 5 │ Pentation │ a↑↑b  │ φ(a, b, 3)  │ 
│ 6 │ Hexation  │ a↑↑↑b  │ φ(a, b, 4)  │ 
│ 7 │ Heptation │ a↑↑↑↑b  │ φ(a, b, 5)  │ 
│ 8 │ Octation  │ a↑↑↑↑↑b  │ φ(a, b, 6)  │ 
╰────────┴────────────────┴─────────────┴───────────────────╯ 

Answer 2

除了求幂（主要是由于缺乏需求）之外，没有任何一般操作。一个可能的扩展名是tetration，它缩写了具有相同值的指数堆栈。简言之（使用 Knuth's up-arrow notation

a ^^ 1 = a 
a ^^ n = a^(a^^(n-1)) 
     = a^a^...^a (n items) 

向上箭头符号本身可以被堆叠，并且a^^^a是a小号a^^a高，a^^^^a堆叠的堆叠a^^^a高，等。（创建的数字是滑稽大;读约Graham's number找出你可以建立多大的数字。）

Answer 3

一个使哈斯克尔问题成为问题的方法是设置实现阿克曼函数（无论哪个版本）的挑战，以自然界的“paramorphism”数字，这里通过Integer代表，并没有其他形式的递归。

paraNat :: t -> ((Integer, t) -> t) -> Integer -> t 
paraNat base step n | n > 0 = step (m, paraNat base step m) where m = n - 1 
paraNat base step _   = base 

这是一个众所周知的事实，“paramorphism”对应于“原始递归”，而它的另一个众所周知的事实，阿克曼的功能是不是在类的“原始递归函数”。然而，问题有一个解决方案。线索是paraNat在其返回类型t中是多态的，而“原始再恢复函数”类将t修正为自然数。

（我知道这是一个触摸非正统的，回答一个提问一个问题，但我希望这是有趣的反正。我好象人们认为这是有问题的删除这个答案。）