Python浮点任意精度可用？

Question

只是为了好玩，因为它非常简单，我写了一个简短的程序来生成Grafting numbers，但由于浮点精度问题，它没有找到一些较大的例子。

def isGrafting(a): 
    for i in xrange(1, int(ceil(log10(a))) + 2): 
    if a == floor((sqrt(a) * 10**(i-1)) % 10**int(ceil(log10(a)))): 
     return 1 

a = 0 
while(1): 
    if (isGrafting(a)): 
    print "%d %.15f" % (a, sqrt(a)) 
    a += 1 

该代码遗漏了至少一个已知嫁接编号。 9999999998 => 99999.99998999999999949999999994999999999374999999912...它似乎降低了乘以10**5后额外的精度。

>>> a = 9999999998 
>>> sqrt(a) 
99999.99999 
>>> a == floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a)))) 
False 
>>> floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a)))) 
9999999999.0 
>>> print "%.15f" % sqrt(a) 
99999.999989999996615 
>>> print "%.15f" % (sqrt(a) * 10**5) 
9999999999.000000000000000 

因此，我写了一个简短的C++程序，以查看它是否是我的CPU以某种方式截断了浮点数或python。

#include <cstdio> 
#include <cmath> 
#include <stdint.h> 

int main() 
{ 
    uint64_t a = 9999999998; 
    printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e4, sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6); 
    a = 999999999998; 
    printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7); 
    a = 99999999999998; 
    printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7, sqrt((double)a)*1e8); 
    return 0; 
} 

，输出：

9999999998 99999.999989999996615 999999999.899999976158142 9999999999.000000000000000 99999999990.000000000000000 
999999999998 999999.999998999992386 99999999999.899993896484375 999999999999.000000000000000 9999999999990.000000000000000 
99999999999998 9999999.999999899417162 9999999999999.900390625000000 99999999999999.000000000000000 999999999999990.000000000000000 

因此，它看起来像我跑起来难防的浮点精度的极限，因为它认为该CPU被斩去其余位，其余的差异是浮点错误。有没有办法在Python下解决这个问题？或者我需要迁移到C并使用GMP或其他？

Answer 1

在标准库中，decimal模块可能是您要查找的内容。另外，我发现mpmath是相当有帮助的。 documentation也有很多很好的例子（不幸的是我的办公室电脑没有安装mpmath;否则我会验证一些例子并发布它们）。但是，有关decimal模块的一个警告。该模块包含用于简单数学运算的几个内置函数（例如sqrt），但这些函数的结果可能并不总是与更高精度的math或其他模块中的相应函数相匹配（尽管它们可能更准确）。例如，

from decimal import * 
import math 

getcontext().prec = 30 
num = Decimal(1)/Decimal(7) 

print(" math.sqrt: {0}".format(Decimal(math.sqrt(num)))) 
print("decimal.sqrt: {0}".format(num.sqrt())) 

在Python 3.2.3，这个输出前两行

math.sqrt: 0.37796447300922719758631274089566431939601898193359375 
decimal.sqrt: 0.377964473009227227214516536234 
actual value: 0.3779644730092272272145165362341800608157513118689214 

其作为说明，不正是你所期望的，你可以看到，在高精度越高，结果越少。请注意，decimal模块在此示例中具有更高的准确性，因为它更接近actual value。

Answer 2

你可以用Decimal而不是浮点数来尝试。

Answer 3

Python没有内置的任意精度浮点数，但有第三方Python包使用GMP：gmpy和PyGMP。

Answer 4

对于这个特定的问题，decimal是一个很好的方法，因为它将十进制数字存储为元组！

>>> a = decimal.Decimal(9999999998) 
>>> a.as_tuple() 
DecimalTuple(sign=0, digits=(9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8), exponent=0) 

既然你要找的是十进制的最自然的表达的属性，这是一个有点傻使用二进制表示。维基百科页面链接到您没有说明有多少“嫁接数字”开始之前“非嫁接数字”可能出现，所以这让你指定：

>>> def isGrafting(dec, max_offset=5): 
...  dec_digits = dec.as_tuple().digits 
...  sqrt_digits = dec.sqrt().as_tuple().digits 
...  windows = [sqrt_digits[o:o + len(dec_digits)] for o in range(max_offset)] 
...  return dec_digits in windows 
... 
>>> isGrafting(decimal.Decimal(9999999998)) 
True 
>>> isGrafting(decimal.Decimal(77)) 
True 

我觉得有一个很好的机会的结果由于二进制表示和十进制表示之间的转换，因此至少对于此，Decimal.sqrt()将比math.sqrt()的结果更准确。考虑以下内容，例如：

>>> num = decimal.Decimal(1)/decimal.Decimal(7) 
>>> decimal.Decimal(math.sqrt(num) ** 2) * 7 
Decimal('0.9999999999999997501998194593') 
>>> decimal.Decimal(num.sqrt() ** 2) * 7 
Decimal('1.000000000000000000000000000')