在R^n中的立方体/球体网格搜索

Question

我试图在R^n，其中n未知的情况下实现网格搜索（在Python中，如果它很重要）。

输入包括球体的半径和中心，以及控制网格分辨率的超参数theta。我想根据这三个参数来表示这个球体中的每个点。

我也愿意考虑立方体搜索，只迭代立方体的面。 （即，迭代L_inf sphere）

如果我知道，N = 2，我会做的是：

import numpy as np 

def enumerate_2d_sphere(R,theta,center=(0,0)): 
    for n in xrange(int(2*np.pi/theta)+1): 
     degree = n*theta 
     point =(center[0]+R*np.cos(degree),center[1]+R*np.sin(degree)) 
     yield point 

for p in enumerate_2d_sphere(1,0.1): 
    print p 

由于n可以任意大，我正在寻找一种方式来遍历球\立方体有效。

任何想法？

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最后我用的是什么strubbly建议修改后的版本：

import itertools 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

def f(d, center, scale=1): 
    dim = len(center) 
    print d/-2.0 
    diff = scale * np.array([d/-2.0 for _ in xrange(dim)]) 
    bias = diff + center 
    for i in range(dim): 
     l = ([ xrange(1,d) for _ in xrange(i)] + 
      [[0,d]] + 
      [ xrange(d+1) for _ in xrange(dim-i-1)] 
      ) 
     for r in itertools.product(*l): 
      yield scale*np.array(r)+bias 
#example for R^2: 
center = (1,1.5) 
data = np.array([x for x in f(20,center,scale = 0.1)]) 


plt.scatter(data[:,0], data[:,1],color='r',s=100,alpha=0.5) 
plt.scatter(center[0], center[1],color='b',s=300,alpha=0.5) 
plt.show() 

输出数字：

另外一个选项是生成 uniformly distributed samples on the sphere。需要注意的是样本的数目控制点的“密度”（或预期密度）：

import numpy as np 
def generate_random_points(R,center,quantity=1000): 
    """ 
    :param R: float 
    :param center: np.array 
    :param quantity: int 
    """ 
    dim = len(center) 
    for n in xrange(quantity): 
     s = np.random.normal(0, 1,dim) 
     r = np.sqrt(np.dot(s,s)) 
     s = (R/r) * s 
     yield s+center 

最坏方法（在简单和效率的方面）。将生成上使用enumeration of n-1 angles球体点。由于需要计算产品sin和cos（虽然也可能会被黑客攻击），所以效率不高。

Answer 1

您可以在n维中使用球坐标。 wikipedia），或者只需将最后一个坐标设置为获得正确半径（加号或减号）所需的任何值即可使用欧几里德坐标。这两个都是很好的参数化，并会给你所有的球上点 - 与正确数量的参数迭代。

但是，它们不会自然地导致恒定的面积（体积）元素 - 这很容易通过考虑3个球体来看到。这个问题没有简单的解决方案。

我认为一种可能的方法是使用n-1维网格参数化，但是根据体积将第n个分量细分为可变数量的值。

n立方体的面更容易：只需生成第n个坐标为最小或最大坐标的n对面。因此，例如，考虑从原点开始的大小为1的正方体：

将第一个坐标设置为零，并在余数上枚举网格。然后将其设置为一个，然后再次执行。然后重复第二个坐标。等等。

下面是使用itertools.product来做到这一点的一种简单方法。为了简单和高效，我已将该框缩放为整数坐标：您需要重新调整并移动中心。所以n是维数和d沿每个轴的细分数。

import itertools 

def f(n,d): 

    for i in range(n): 
     l = ([ range(1,d-1) for _ in range(i)] + 
      [[0,d-1]] + 
      [ range(d) for _ in range(n-i-1)] 
      ) 
     for r in itertools.product(*l): 
      yield r 

print(list(f(4,3))) 

Answer 2

我不认为sklearn网格搜索功能有这个选项，但手动实现这个应该不难

• 叠代的每个N N
• 的值，迭代n个不同的角度参数与THETA步幅从0到360
• 如果wan't球体体积，也迭代半径 - 如果你只需要表面，保持半径不变