雪碧椭圆机芯

Question

我想让一个2d精灵在“弧形”（半椭圆）而不是直线中移动。我有X和Y的开始和结束位置以及所需的半径。

实现此目的的最佳方法是什么？

Answer 1

如果你想让它移动到一个椭圆中，我知道的最简单的方法是将y值作为时间的函数与sin相乘，x值作为时间与cos的函数。假设你正在使用System.currentTimeMillis（），你可以将初始时间存储在一个变量中（例如double startTime = System.currentTimeMillis（）），然后在每一帧中通过从当前时间减去当前时间开始时间。 （例如elapsedTme = System.currentTimeMillis（） - startTime）。那么y值将是（y方向上的半径）* sin（elapsedTime * speed）+ y值，并且x值将是（x方向上的半径）* cos（elapsedTime * speed） +椭圆中心的x值。

编辑：如果你有起始的X和Y坐标，但不是椭圆的中心，那么我认为获得中心的最简单方法是找出其余的变量，然后将它们插入到方程。数学在那里不应该太难。

Answer 2

你可能会需要使用椭圆的参数表，这里显示

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_parametric_form

公式，因为你一开始PT和结束PT，你需要在两端在t解决，

然后从t开始到结束，以相对小的增量步进。

Answer 3

我认为这个问题最好通过一系列坐标变换来解决。为了符号简单，我们假设你有两点是u和v

假设你在一个非常简单的情况下工作 - 点u和v在（1,0）和（-1,0 ），并且椭圆上长轴的长度为1.然后，你只是描绘出一个半圆。假设你想在一个恒定的速度点之间进行插值，可以用以下公式：

x(t) = cos(pi * t) 
y(t) = sin(pi * t) 

当然，你不一定幸运地在此设置，所以我们可以做一系列的坐标转换将您带入此配置。对于初学者来说，让我们将点w定义为u =（x0，y0）和v =（x1，y1）之间的中间点。那就是：

w = (x2, y2) = ((x0 + x1)/2, (y0 + y1)/2) 

现在，假设你翻译u和v以便w在原点。这意味着u和v与相反向量的原点等距。如果我们使用矩阵和齐次坐标，那么你可以代表这是

 | 1 0 -x2 | 
T = | 0 1 -y2 | 
    | 0 0 1 | 

u和v的这个翻译后的位置，然后通过Tu和Tv给出。我们称这些点为u'和v'。他们通过

u' = (x0 - x2, x1 - y2) = (x0/2 - x1/2, y0/2 - y1/2) 
v' = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1/2 - x0/2, y1/2 - y0/2) 

给予我们现在已接近解决原来的问题，但我们有u“和v”没有很好地与x轴一致的问题，因为他们在原来的问题。为了解决这个问题，我们将应用旋转变换，以便u'结束于（1，0），v'结束于（0,1）。为此，我们需要建立一个坐标系统，其中一个基向量在u'方向，另一个在垂直于它的方向。为了做到这一点，我们来接我们单位向量如下：

e0 = u'/||u|| 
e1 = perp(e0) 

哪里perp垂直于e0一些单位向量。得到这个的一个方法就是说，如果e0 = (x3, y3)，那么e1 = perp(e0) = (-y3, x3)。由于它们的点积为零，因此可以验证此矢量与(x3, y3)垂直。

鉴于这些载体，我们可以定义一个转换以将映射（1,0）至e0和（0，1）〜e1由

|x3 -y3 0| 
|y3 x3 0| 
| 0 0 1| 

（即最后一列是齐次坐标系统）

当然，这与我们想要的相反 - 我们试图从e0到（1,0）和从e1到（0,1）映射。为了得到这个矩阵，我们只是反转上面的矩阵。幸运的是，因为我们选择e0和e1是正交，上述矩阵是正交的，所以它的逆是其转置：

| x3 y3 0| 
R = |-y3 x3 0| 
    | 0 0 1| 

现在，如果我们应用R到u'和v'，我们结束与载体（ 1,0）和（-1,0），这是我们希望他们成为的地方。现在的问题是我们想要追踪的椭圆不一定有单位高度。例如，如果我们将其高度叫做h，那么我们将追踪出半径为h和半微小轴1的椭圆路径。但这很容易用另一个坐标变换进行校正，这次按照因子1/h的比例缩放corodinate系统的高度，以便我们要追踪的椭圆的高度为1.这可以使用以下缩放矩阵完成：

| 1 0 0 | 
S = | 0 1/h 0 | 
    | 0 0 1 | 

之所以这样设置是有用的，我们知道，如果我们采取u和v之间，然后期望的椭圆任意点矩阵SRT适用于它，那么我们将最终将其转换为使用相应的指向单位圆，这是从（1,0）到（-1,0）的路径。但更重要的是，这是相反的。如果我们将反向的SRT应用于单位圆上的任意点，我们最终将返回u和v之间的原始椭圆路径上的对应点！为了达成协议，我们知道如何找到从（1,0）到（-1,0）的路径上的点，所以我们有一个算法来解决这个问题：

1. 对于给定的时间t，如果您在t时间从（1,0）移动到（-1,0），则找到您在单位圆上的位置。称它为p。
2. Compute p'=（SRT）^-1 p。
3. p'是你要找的点。

那么问题是什么（SRT）^-1是。幸运的是，我们有（SRT）^-1 = T -1 ř^-1小号^-1，并且所有这些矩阵的可以很容易地来计算：

 | 1 0 -x2 |   | 1 0 x2 | 
T = | 0 1 -y2 | T^-1 = | 0 1 y2 | 
    | 0 0 1 |   | 0 0 1 | 

    | x3 y3 0|   | x3 -y3 0 | 
R = |-y3 x3 0| R^-1 = | y3 x3 0 | 
    | 0 0 1|   | 0 0 1 | 

    | 1 0 0 |   | 1 0 0 | 
S = | 0 1/h 0 | S^-1 = | 0 h 0 | 
    | 0 0 1 |   | 0 0 1 | 

总之，最终的算法如下：

1. 鉴于U =（X0，Y0）和v =（X1，Y1），让W =（X2，Y2）=（（X0 + X1）/ 2，（Y0 + y1）/ 2）。
2. 让u'= u/|| u || =（x3，y3）。
3. 在时间t（0 ≤吨≤ 1），设p =（COS（π吨），SIN（π吨））
4. 计算p” = S ^-1 P =（COS（π吨）中，h SIN（π吨））
5. 计算p'= R ^-1 p” =（X3 COS（π吨） - Y3 SIN（π吨），Y3 COS（π吨）+ X3罪（ π t））
6. 计算p'''= T ^-1 p''=（x3cos（输出p'''作为您的观点。输入p'''作为您的观点。输入p'''作为您的观点。

对不起，如果这是一个很多的数学，但你的答案应该（希望！）由上述程序给出。

Answer 4

我相信你正在寻找贝塞尔曲线，检查http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Bezier.htm。该来源也可在同一链接中找到。

如果你正在使用SWT，您可以检查http://help.eclipse.org/helios/topic/org.eclipse.platform.doc.isv/reference/api/org/eclipse/swt/graphics/GC.html#drawArc(int，INT，INT，INT，INT，INT）