如何在matlab中评估函数的导数？

这应该很简单。我有一个功能f(x)，我想要评估f'(x)在MATLAB中的给定x。如何在matlab中评估函数的导数？

我所有的搜索都提出了符号数学，这不是我所需要的，我需要数值分化。

E.g.如果我定义：fx = inline('x.^2')

我想找个说f'(3)，这将是6，我不想找到2x

2011-01-11 lms

为了得到一个数值差（对称差），你算算(f(x+dx)-f(x-dx))/(2*dx)

fx = @(x)x.^2; 
fPrimeAt3 = (fx(3.1)-fx(2.9))/0.2;

或者，您可以创建函数值的矢量和应用DIFF，即

xValues = 2:0.1:4; 
fValues = fx(xValues); 
df = diff(fValues)./0.1;

注意diff需要前向差异，并假设dx等于1.

但是，在你的情况下，您最好将fx定义为polynomial，然后评估函数的导数，而不是函数值。

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2011-01-11 14:40:28 Jonas

+1为一个整洁的答案:) – posdef 2011-01-11 14:43:41

我是对的，我认为我选择dx越小，我的答案就越准确。如果是的话，是否有一个非常小的实数的MATLAB常量？类似于pi的3.14 ...或者我为sqrt（-1）？ – lms 2011-01-11 16:15:22

@codenoob：`eps`给你一个很小的数字。但是，对于大多数实际用途而言，0.0001就足够了。另外，如果你使用多项式并使用`polyder`，则不必担心`dx`的大小。 – Jonas 2011-01-11 16:29:43

你尝试diff（计算差异和近似衍生物），gradient，或polyder （计算多项式的导数）函数？

您可以在MATLAB控制台上使用help <commandname>或使用帮助菜单中的功能浏览器阅读关于这些功能的更多信息。

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2011-01-11 14:39:36 posdef

+1为更快一点:) – Jonas 2011-01-11 14:44:34

对于解析形式给定的功能，可以在用下面的代码的期望点评估衍生物：

syms x 
df = diff(x^2); 
df3 = subs(df, 'x', 3); 
fprintf('f''(3)=%f\n', df3);

对于纯数值衍生物使用由纳斯和posdef已经给出的解决方案。

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2011-01-11 15:14:58 zellus

缺少符号工具箱，没有什么能阻止您使用Derivest这一自动自适应数值微分工具。

derivest(@sin,pi) 
ans = 
      -1

对于你的例子它很好。事实上，它甚至提供了对所得近似值误差的估计。

fx = inline('x.^2'); 
[fp,errest] = derivest(fx,3) 

fp = 
      6 
errest = 
    3.6308e-14

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2011-01-12 00:07:58

如果你的函数被称为是二次可微，使用

f'(x) = (f(x + h) - f(x - h))/2h

这是二阶h中准确。如果它只有一次可微分，请使用

f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h  (*)

这是h中的第一顺序。

这是理论。实际上，事情非常棘手。由于分析比较简单，我将采用第二个公式（一阶）。做第二个练习。

第一个观察结果是，你必须确保（x + h） - x = h，否则你会得到巨大的错误。事实上，f（x + h）和f（x）彼此接近（比如2.0456和2.0467），当你减去它们时，你会失去很多有意义的数字（这里是0.0011，比x）。因此，h上的任何错误都可能对结果产生巨大影响。因此，第一步，修复一个候选人h（我会在一分钟内告诉你如何选择它），并将h'作为你的计算量h'=（x + h）-x。如果您使用的是像C这样的语言，则必须注意将h或x定义为挥发性，以便不会优化该计算。

接下来，选择h。（*）中的错误包含两部分：截断错误和舍入错误。截断误差是因为公式并不确切：

(f(x + h) - f(x))/h = f'(x) + e1(h)

e1(h) = h/2 * sup_{x in [0,h]} |f''(x)|哪里。

舍入误差来自f（x + h）和f（x）彼此接近的事实。它可以大致被估计为

e2(h) ~ epsilon_f |f(x)/h|

其中epsilon_f是在F（X）（或F（X + h）时，其是接近）的计算的相对精度。这必须从您的问题进行评估。对于简单的功能，epsilon_f可以作为机器epsilon。对于更复杂的，它可能比数量级更差。

所以你想要h它最小化e1(h) + e2(h)。一同插入一切，在h优化产生

h ~ sqrt(2 * epsilon_f * f/f'')

这必须从你的函数进行估计。你可以做出粗略的估计。如有疑问，请参阅epsilon =机器精度的h〜sqrt（epsilon）。对于h的最优选择，导数已知的相对准确度是sqrt（epsilon_f），即。一半有效数字是正确的。

总之：h =>舍入误差太小，h =>截断误差太大。

对于第二阶式中，相同的计算产量

h ~ (6 * epsilon_f/f''')^(1/3)

和（epsilon_f）^（2/3）为衍生物的分数精度（其通常比第一个或两个显著附图将更好地订单公式，假设双精度）。

如果这太不精确，随意要求更多的方法，有很多技巧来获得更好的准确性。理查森外推法对于平稳的功能来说是一个好的开始。但是这些方法通常计算f几次，如果函数复杂，这可能会或不会是你想要的。

如果您打算在不同的点使用数值导数很多次，那么构造一个切比雪夫逼近就会变得很有趣。

来源

2011-01-14 14:26:15

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