对于正弦波+噪声的FFT，Parseval定理不成立？

Question

预先感谢您在这个问题上的任何帮助。最近我一直在试图解决包含噪声时离散傅立叶变换的Parseval定理。我基于我的代码this code。

我期望看到的是（当没有噪声时），频域的总功率是时域总功率的一半，因为我切断了负频率。然而，随着更多噪声被添加到时域信号中，信号+噪声的傅立叶变换的总功率远小于信号+噪声总功率的一半。

我的代码如下：

import numpy as np 
import numpy.fft as nf 
import matplotlib.pyplot as plt 

def findingdifference(randomvalues): 

    n    = int(1e7) #number of points 
    tmax   = 40e-3 #measurement time 
    f1    = 30e6 #beat frequency 

    t    = np.linspace(-tmax,tmax,num=n) #define time axis 
    dt    = t[1]-t[0] #time spacing 

    gt    = np.sin(2*np.pi*f1*t)+randomvalues #make a sin + noise 

    fftfreq   = nf.fftfreq(n,dt) #defining frequency (x) axis 
    hkk    = nf.fft(gt) # fourier transform of sinusoid + noise 
    hkn    = nf.fft(randomvalues) #fourier transform of just noise 

    fftfreq   = fftfreq[fftfreq>0] #only taking positive frequencies 
    hkk    = hkk[fftfreq>0] 
    hkn    = hkn[fftfreq>0] 

    timedomain_p = sum(abs(gt)**2.0)*dt #parseval's theorem for time 
    freqdomain_p = sum(abs(hkk)**2.0)*dt/n # parseval's therom for frequency 
    difference  = (timedomain_p-freqdomain_p)/timedomain_p*100 #percentage diff 

    tdomain_pn = sum(abs(randomvalues)**2.0)*dt #parseval's for time 
    fdomain_pn = sum(abs(hkn)**2.0)*dt/n # parseval's for frequency 
    difference_n = (tdomain_pn-fdomain_pn)/tdomain_pn*100 #percent diff 

    return difference,difference_n 

def definingvalues(max_amp,length): 

    noise_amplitude  = np.linspace(0,max_amp,length) #defining noise amplitude 
    difference   = np.zeros((2,len(noise_amplitude))) 
    randomvals   = np.random.random(int(1e7)) #defining noise 

    for i in range(len(noise_amplitude)): 
     difference[:,i] = (findingdifference(noise_amplitude[i]*randomvals)) 

    return noise_amplitude,difference 

def figure(max_amp,length): 

    noise_amplitude,difference = definingvalues(max_amp,length) 

    plt.figure() 
    plt.plot(noise_amplitude,difference[0,:],color='red') 
    plt.plot(noise_amplitude,difference[1,:],color='blue') 
    plt.xlabel('Noise_Variable') 
    plt.ylabel(r'Difference in $\%$') 
    plt.show() 

    return 
figure(max_amp=3,length=21) 

我最后的图形看起来像这样figure。解决这个问题时我做错了什么？这种趋势是否会增加噪音，是否有物理原因？这是否与一个不完美的正弦信号进行傅里叶变换有关？我这样做的原因是为了理解我有真实数据的非常嘈杂的正弦信号。

Answer 1

如果您使用整个频谱（正数和负数）频率来计算功率，则Parseval定理通常保持不变。

该差异的原因是DC（f = 0）组件，这被视为有点特殊。

首先，直流分量来自哪里？您使用np.random.random来生成0和1之间的随机值。因此平均而言，您将信号提高0.5 * noise_amplitude，这需要很大的功率。该功率在时域中正确计算。

但是，在频域中，只有一个FFT bin对应f = 0。所有其他频率的功率分布在两个分箱中，只有直流电源包含在一个分箱中。

通过缩放噪声来增加直流电源。通过消除负频率，可以消除一半的信号功率，但大部分噪声功率都位于完全使用的直流分量中。

您有几种选择：

1. 使用的所有频率，计算功率。
2. 没有直流分量使用噪声：randomvals = np.random.random(int(1e7)) - 0.5
3. 通过移除DC功率的一半“修复”的功率计算：hkk[fftfreq==0] /= np.sqrt(2)

我与选项1.去第二个可能是OK和我真的不建议3.

最后，还有一个小问题与代码：

fftfreq   = fftfreq[fftfreq>0] #only taking positive frequencies 
hkk    = hkk[fftfreq>0] 
hkn    = hkn[fftfreq>0] 

这并不是真正意义。更好地将其更改为

hkk    = hkk[fftfreq>=0] 
hkn    = hkn[fftfreq>=0] 

或者完全删除它的选项1。