计算的MATLAB与非常小的值

Question

我在Matlab做一个函数来计算下面的函数功能：

此功能有：

这是我在matlab中实现的函数：

function [b]= exponential(e) 
%b = ? 
b= (exp (e) -1)/e; 

当我用非常小的值测试函数时，实际上函数的极限值为1，但是当数值非常小（例如1 * e-20）时，极限值为零？这种现象的解释是什么？难道我做错了什么？。

x= 10e-1 , f (x)= 1.0517 

x= 10e-5 , f (x)= 1.0000 

x= 10e-10 , f (x)= 1.0000 

x= 10e-20 , f (x)= 0 

Answer 1

的问题是，exp(x)约为1+x，但被评价为1由于1是从浮点表示1+x难以区分。有一个MATLAB函数expm1(x)（这是exp(x)-1实施了小x）避免这个问题，非常适用于小型的论点：

>> x=1e-100;expm1(x)/x 
ans = 
    1 

Answer 2

我认为这与你的数字的精度有关。总之，MATLAB的默认精度是5位数。您可以使用format long将其扩展到15。检查出this article有关MATLAB精度的更多信息

Answer 3

我必须尝试使用​​我的LIMEST工具。与任何自适应工具一样，它可能会被愚弄，但它通常很不错。

fun = @(x) (exp(x) - 1)./x; 

正如你所看到的，有趣的问题在零。

fun(0) 
ans = 
    NaN 

但如果我们接近零评估的乐趣，我们看到这是近1

format long g 
fun(1e-5) 
ans = 
      1.00000500000696 

LIMEST成功，甚至能够提供极限的错误估计。

[lim,err] = limest(fun,0,'methodorder',3) 

lim = 
    1 

err = 
     2.50668568491927e-15 

LIMEST使用多项式逼近的序列，加上自适应理查森外推，以产生两个极限估计和对限制不确定性的量度。

那么你看到了什么问题？你看到的失败是简单的减法取消错误。因此，看的

即使格式长克，实验值（1E-20）的双精度值的值是简单地过于接近1，当我们减去关闭1，其结果是精确的零。除以任何非零值，我们得到零。当然，当x实际上为零时，我们有一个0/0的条件，所以当我尝试时，结果是NaN。

让我们看看高精度会发生什么。我将使用我的HPF工具进行计算，并使用64位十进制数字。

DefaultNumberOfDigits 64 
exp(hpf('1e-20')) 
ans = 
1.000000000000000000010000000000000000000050000000000000000000166 

看到，当我们sutract断1,1和指数值之间的差小于EPS（1），因此必须MATLAB产生零值。

exp(hpf('1e-20')) - 1 
ans = 
1.000000000000000000005000000000000000000016666666666670000000000e-20 

的没有提出的问题是我怎么会选择精确地产生在MATLAB该功能。显然，你不想像我那样使用强力和定义乐趣，因为你失去了很多准确性。我可能只是在零点附近的有限区域内扩展泰勒级数，并且如上所述使用有趣的x来显着区别于零。