避免精度损失的最佳算法？

我收到的一项最近的家庭作业要求我们采取措辞，在计算机上执行时可能会造成精度损失，并对其进行修改，以避免造成损失。避免精度损失的最佳算法？

不幸的是，这样做的方向尚未明确。通过观察正在执行的各种示例，我知道有一些方法可以做到这一点：使用泰勒级数，如果涉及平方根使用共轭，或者在减去两个分数时找到共同的分母。

但是，我在准确发现精确度丢失时会发生一些麻烦。到目前为止，我唯一知道的是，当你减去接近于相同的两个数字时，由于高位数字很重要，所以会出现精度损失，并且你会从四舍五入中丢失这些数字。

我的问题是我应该寻找哪些其他常见情况，以及哪些被认为是接触它们的“好”方法？

例如，这里有一个问题：

f(x) = tan(x) − sin(x) when x ~ 0

什么是评价这一点这三个选项的最佳和最差的算法：

(a) (1/ cos(x) − 1) sin(x), 
(b) (x^3)/2 
(c) tan(x)*(sin(x)^2)/(cos(x) + 1).

我明白，当x接近零，tan（x）和sin（x）几乎相同。我不明白如何或为什么这些算法对于解决问题更好或更差。

来源

2009-02-02 Zachary Wright

通常使用的另一个经验法则是：当添加一长串数字时，开始从最接近零的数字开始添加，并以最大数字结束。

解释为什么这是好的只是棘手。当你为大数添加小数时，它们有可能被完全丢弃，因为它们比当前大数的尾数小。就拿这样的情况：

a = 1,000,000; 
do 100,000,000 time: 
    a += 0.01;

如果0.01比最低的尾数数字越小，则循环不执行任何操作而最终的结果是==百万但如果你这样做是这样的：

a = 0; 
do 100,000,000 time: 
    a += 0.01; 
a += 1,000,000;

比低数字慢慢增长，你更可能最终接近一个== 2,000,000这是正确的答案。
这是一个极端的例子，但我希望你明白。

来源

2009-02-02 03:50:57 shoosh

当我还是一名本科生时，我不得不接受一个数学课，而且这是非常痛苦的。无论如何，IEEE 754是典型的由现代CPU实现的浮点标准。了解它的基础知识是有用的，因为这给你很多关于不该做什么的直觉。它的简单解释是计算机存储浮点数，如基数为2的科学记数法，指数和尾数的位数都是固定的。这意味着数字的绝对值越大，其表示的精确度越低。对于IEEE 754中的32位浮点数，一半的可能位模式表示-1和1之间，即使可以用32位浮点数表示大约10^38的数字。对于大于2^24（大约16.7百万）的值，32位浮点数不能完全表示所有整数。

这意味着什么，你是，你通常需要避免以下几点：

有当最后的答案有望成为小中间值大。
在大数上加/减小数。例如，如果你写的东西，如：用于

（浮点指数= 17000000;指数< 17000001;指数++）{}

这个循环将永远不会终止监守17000000 + 1向下取整到17000000。如果你有这样的事情：

float foo = 10000000 - 10000000.0001

foo的值是0，没有-0.0001，由于舍入误差。

来源

2009-02-02 03:53:35 dsimcha

另一件事情，以避免被减去几乎是相同的数字，因为这也可能导致对舍入误差的敏感性增加。对于接近0的值，cos（x）将接近于1，所以1/cos（x）-1是那些你希望尽可能避免的减法之一，所以我应该说（a）应该被避免。

来源

2009-02-02 04:32:47

我的问题是什么是我应该寻找一些其他常见的情况，什么被认为是“好”接近他们的方法呢？

有几种方法可以导致严重或甚至灾难性的精度损失。

最重要的原因是浮点数有位数量有限，e.g..doubles有53位。这意味着，如果您的“无用”数字不属于解决方案的一部分，但必须存储，您将失去精确度。

例如（我们使用十进制类型示范）：

2.598765000000000000000000000100 -

2.598765000000000000000000000099

有趣的部分是100-99 = 1的答案。由于2.598765在两种情况下均相同，因此它不会更改结果，但会浪费8位数。更糟糕的，因为电脑不知道数字是没有用的，它是被迫来存储它和之后的CRAM 21个零，浪费在所有29位。不幸的是，没有办法规避差异，，但还有其他的情况，例如， exp（x）-1这是物理学中经常出现的函数。

0附近的exp函数几乎是线性的，但它强制执行1作为前导数字。因此，与12个显著数字 EXP（0.001）-1 = 1.00100050017 - 1 = 1.00050017e-3

如果我们使用而不是函数的expm1（）中，使用泰勒级数：

1 + X + X3^2/2 + x^3/6 ...-1 =

X + X^2/2 + X^3/6 =：的expm1（X）

的expm1（0.001）= 1.00500166667e -3-

好得多。

第二个问题是函数的斜率非常陡，如x的切线接近pi/2。 tan（11）的斜率为50000，这意味着由于舍入误差而引起的任何小偏差都将被因子50000放大！或者你有奇点，例如，结果接近0/0，这意味着它可以有任何值。

在这两种情况下，您都会创建一个替代函数，简化原始函数。突出显示不同的解决方案是没有用的，因为如果没有经过培训，您根本就不会“首先”看到问题。

一本很好的学习和训练的书：Forman S. Acton：Real Computing made real

来源

2009-12-08 15:04:09

避免精度损失的最佳算法？

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