产品和副本产品

Question

在阅读Bartosz优秀的Category theory for Programmers时，我陷入了第二个练习中，该练习涉及到posets中的产品。给定一个poset，

b e 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g 

如何定义产品的分类意义？什么是由两个对象的产品分类的？那副产品呢？

Answer 1

让我们一起来看看产品的定义，第一：

对象a和b的产品配备了态射p :: c -> a和q :: c -> b存在，使得对任何其他对象c'（与对象c态射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b），存在态射m :: c' -> c，使得p' = p . m和q' = q . m。

请记住，poset中的态射主要描述关系“小于或等于”。

现在产物c对象和b之间的两个a必须小于或等于两个a和b的对象。作为一个例子，让我们选择a为e和b为g从图表：

b e -- this one is a 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g -- this one is b 

中平凡，想到的是小于或等于任何其他对象总是的第一个对象是最小的对象，在这种情况下，a。

现在是a产品e和g的有效候选人？让我们来看看产品的定义：

是否有从a到e？是的，这存在并且可以写为pₐ = ce . ac（读作：“首先是从a到c的箭头，然后是从c到e的箭头”）。

是否有从a到g的morhism？是的，这也存在，可以写成qₐ = cg . ac。

到目前为止这么好，唯一的问题就是这是否是“最好的”候选者，因为没有其他对象存在，因此我们可以在a和另一个候选者之间构造一个独特的同构？

看图中，我们可以看到对象c也符合要求的标准，其中p = ce和q = cg。

所有剩下要做的就是根据上面的定义对这两个对象进行排序。我们看到存在从a到c的态射。这意味着c必须是最好的候选人，因为我们现在可以定义态射m = ac，使得pₐ = p . m = ce . ac和qₐ = q . m = cg . ac。

因此，poset中两个对象的乘积实际上是两者都小于两者（也称为最大下界）的最大对象。值得注意的是，在总排序中，这对应于函数min(a, b)，因为每个对象都必须与任何其他对象相关联（Wolfram将其称为trichotomy law）。

---

模数转换器产品定义时，副产物对应于最小对象大于或等于两个a和b。在总排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以为自己工作。