划分和征服算法的时间复杂度会产生两个不均匀的子问题。

Question

我正在处理一个非常具体的分而治之的算法，它总是将一个有n个元素的问题划分为n/2-1和n/2 + 1个元素的两个子问题。

我很确定时间复杂度仍然是O（n log n），但我不知道我怎么能正式证明它。

Answer 1

采取在每个递归级“做了有益的工作”是一些功能f(n)：

让我们看到，当我们反复代回这本身会发生什么。

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1. T(n)方面：

现货的格局？

在递归深度m：

• 有到T
• 每个参数为T第一项递归调用是
• 中的第二项的范围从到，在步骤

因此，在每个级别的所有T组术语的总和由下式给出：

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f(n)术语：

看起来很熟悉吗？

的f(n)条款只有一个递归级别背后的T(n)条款。因此，调整之前的表现，我们得出以下的总和：

但是请注意，我们只用一个f -term开始，所以这和有一个无效的边缘情况。然而，这很容易纠正 - m = 1的特殊结果只是f(n)。

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综合以上，并为每个递归级别求和f方面，我们到达（几乎）最终表现为T(n)：

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我们接下来需要发现当T第一加法组术语终止。假设那是n ≤ c。

的最后呼叫直观地终止了最大的论点，即呼吁：

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：

因此最终表达式由下式给出

回到原来的问题，什么是f(n)？

你还没有说这是什么，所以我只能假设，工作的每个呼叫完成量ϴ(n)（正比于数组长度）。因此：

你的假设是正确的。

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请注意，即使我们有更多的东西一般喜欢

哪里a一些常数不等于1，我们将仍然有ϴ(n log n)作为结果，因为所述术语在上面的方程抵消：