如何在欠定线性方程组中找到“部分”解？

Question

比方说，我有这样的矩阵：

111 | 1
0 0 1 | 1

这个系统显然有无限的解决方案。

X1 = -x 2
X3 = 1个

X1取决于x2和X2是免费的，但我很感兴趣的是X3。 有一种算法可以找到一个解决方案，看起来像这样：[NaN，NaN，1]为x1，x2和x3？

我的猜测是，你可以用高斯消算法的变化，但我真的不知道该怎么做。

Answer 1

我假设一个系统具有至少一个溶液（您可以使用标准高斯消元法检查）。

引理：一个变量的值是当且仅当它在还原列梯形形式的行中的唯一变量固定。

证明： 如果这是唯一的变量的行中，它必须是同质系统的任何解决方案为零。因此，这是原始系统的一个常数。

如果它不是该行中唯一的变量，则其值不固定。事实上，行中的其他变量是自由的，所以我们可以任意选择它的值。这个自由变量的两个不同选择给出了两个不同的pivot变量值。

所以最终的解决方案是这样的：

1. 获取使用高斯消元矩阵的简化行阶梯形式。

2. 检查是否至少有一个解决方案。如果没有回报的东西。

3. 返回包含该变量的值的矢量，如果它是该行中和的唯一变量Nan否则。

在你的情况，减小的阶梯形式是：

1 1 0 0 
0 0 1 1 

最后一个变量具有唯一的值1。第二个变量是免费的。第一个变量不是其行中唯一的变量。因此，结果是[Nan, Nan, 3]。