计算机精度：我应该什么时候担心它？

在C++编程中，我什么时候需要担心精度问题？举一个小例子（它可能不是虽然是完美的一个），计算机精度：我应该什么时候担心它？

std::vector<double> first (50000, 0.0); 
std::vector<double> second (first);

难道是可能的，second[619] = 0.000000000000000000000000000（我的意思是一个很小的值）。或者SUM = second[0]+second[1]+...+second[49999] => 1e-31？或SUM = second[0]-second[1]-...-second[49999] => -7.987654321e-12？

我的问题：

难道是一些小的干扰与double型数字打交道？
什么可能导致这些小干扰？即舍入误差变大？你能列出他们吗？如何采取预防措施？
如果在某些操作中可能会有小的干扰，那么是否意味着在这些操作之后，使用if (SUM == 0)是危险？那么应该总是使用if (SUM < SMALL)来替代，其中SMALL被定义为非常小的值，例如1E-30？
最后，小干扰可能导致负值吗？因为如果可能的话，我应该更好地使用if (abs(SUM) < SMALL)来代替。

任何经验？

来源

2013-05-02 Daniel

这是浮点精度很好的参考文献：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

一个比较重要的部分是灾难性的取消时操作数都受到舍入误差发生

灾难性取消。例如在二次公式中，出现表达式 b2-4ac。数量b2和4ac由于是浮点乘法的结果而受到四舍五入的错误的影响。假设它们四舍五入到最接近的浮点数，所以精确到0.5 ulp以内。当它们被扣除时，取消可能导致许多准确的数字消失，主要留下由舍入误差污染的数字。因此，差异可能会有许多ulps的错误。例如，考虑b = 3.34，a = 1.22和c = 2.28。 b2 - 4ac的确切值是.0292。但b2轮到11.2和4ac轮到11.1，因此最终答案是.1这是一个70 ulps的错误，尽管11.2 - 11.1正好是等于.16。减法没有引入任何错误，而是暴露了早期乘法中引入的错误。

当减去确切的已知量时，会发生良性取消。如果x和y没有舍入误差，那么通过定理2，如果用保卫位数完成相减，则差异x-y具有非常小的相对误差（小于2）。

显示灾难性取消的公式有时可以重新排列以消除该问题。再次考虑二次式

来源

2013-05-02 18:45:09

对于

您的具体实例中，0具有一个精确的表示为双，和精确地将0加至双不改变其值。

此外，和其他任何你放入变量的值一样，你在数组中初始化的数字也不会神秘地改变。当计算结果不能精确地表示为浮点数时，您只能取整。

为了给出关于“干扰”的更好的意见，我需要知道你的代码执行的计算种类。

来源

2013-05-02 19:13:01 NovaDenizen

计算机精度：我应该什么时候担心它？

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