多项式评价的准确性，乘法与除法

Question

让我们说我有X多项式，通过x的功率分为：

p = (a + x(b + x(c + ..)))/(x**n) 

效率不谈，这将是更准确的计算数值，上述或使用部门：

p = (((a/x + b)/x + c)/x + ...) 

感谢

Answer 1

我认为差异很小，除非有机会x**n溢出或下溢，在这种情况下，您应该使用第二个表达式。

两个表达式相差在两个地方：

1. 评价顺序相反（...，C，B，a）用于在第一表达和（A，B，C，...）为第二个表达式。哪一个最好取决于系数的值。
2. 第一个表达式的末尾有.../x**n。正如乔纳森解释的那样，出于这个原因，可能会期望第二个表达式更准确，因为它的操作更少。但是，我认为.../x**n只会导致精度损失最小（与其他您失去准确性的地方相比），除非x**n溢出或下溢。

Answer 2

从理论上讲，不应该有任何区别 - 如果值与“无限”的精度精确计算。

Kernighan和Plauger状态在他们的古董，但优秀的书“Elements of Programming Style”，即：

聪明的程序员曾经说过，“浮点数是像颗颗小堆;每次移动一次，你失去一点沙子，并获得一点污垢“。

该部门的整体作业略少，这意味着失去沙子和污垢的机会稍微减少。

详细的分析可能需要查看系数（a，b，c等）以及x的值 - 当x很大时，x很接近零时可能无法正常工作，反之亦然。

Answer 3

提供的答案不正确。

第二个方程p =（（（（a/x + b）/ x + c）/ x + ...）对于精确度只有边际更差，对速度来说差得多。

为什么？乘法的相对误差只有主要线性项 和一个小的二次项。司在相反引入较高，但 非常小的术语（立方体，四次）：

E =相对误差，对于这两个术语

A * B =（1 + E）B（假定为常数1+ e）= a b（1 + 2e + e^2）//乘法

a/b = a（1 + e）/ b（1 + e）= a/b（1 + e） + E + E^2 + E^3 + ...几何系列）//除法

所以除法总是比乘法差一点。 出于速度考虑：分区总是慢于乘法， 正常因子可以从3x - 10x变化。因此，如果不通过pow（）计算最后一个因子 ，而是通过嵌套乘法计算，则嵌套的分割比嵌套的乘法要慢 。

x^n可以很容易地通过循环乘以结果来计算 double power = x;对于（n-1） 功率* = x;

如果您使用pow（），请注意它主要是通过 指数和对数计算得来，所需时间远远超过必要（100x）。

您是否知道虽然双精度结果和精确结果之间的误差仍然很小，但多项式结果为非常有效对于更高n值的x变化很敏感？ 所以，如果你使用更高的n值得注意，你的答案可能完全脱离标记 ，因为x中的小错误被天文放大。