给定片段的时间复杂度是多少？

Question

for i = 1 to n do 
    for j = 1 to i do 
     for k = 1 to j do 

“n”的时间复杂度是多少？

Answer 1

最内圈将明显运行j次。假设它包含价值100个单位时间的操作，这将是：

T_inner(j) = j 

环路中间将运行i倍，即

T_middle(i) = Sum {j from 1 to i} T_inner(j) 
      = Sum {j from 1 to i} j 
      = i/2 * (1 + i) 

最后：

T_outer(n) = Sum {i from 1 to n} T_middle(i) 
      = Sum {i from 1 to n} (i/2 * (1 + i)) 
      = 1/6 * n * (1 + n) * (2 + n) 
      = 1/6 n^3 + 1/2 n^2 + 1/3 n 

这显然是O(n^3)。

注意：这只会计算最内侧块中的操作。它忽略了执行循环所需的操作。但是如果你包含这些，你会发现时间复杂度是一样的。