如何证明这种语言是否正规？

Question

如何证明这种语言是否正规？

L = {A ^Ñ b ^Ñ：N ≥ 1} {工会一个^Ñ b ^{N + 2}：N ≥ 1}

Answer 1

我给一个方法和证明的草图，可能会有一些漏洞，我相信你可以填补自己。

的想法是使用nerode's theorem - 表明，有对R _大号等同群组的infinte数 - 从定理可以推导出的语言是不规则的。

定义的集两种类型：

1. G_J = {A ^Ñ b ^ķ | NK = J，K ≥ 1}在每个 f] [-2，-1,0,1，...]
2. H_j = {A ^Ĵ}用于每个 f] [0,1 ,. ..
3. G_illegal = {0,1} * /（G_JÚH_j）在指定的范围内的每个j]的

这是很容易看到，对于在每个G_illegalx，和{a，b}中的每个z^*：xz不在L中。

因此，对于在每G_illegal并x,y在每个z {A，B} ^*：xz在L < - >在Lyz。

而且，对于在每个z {A，B} ^* - 并且对于每个x，y在一些G_j [相同j两个]：

• 如果z包含a，既xz和yz不在L
• 如果z = b ^j，则xz = a ⁿ b ^k b ^j，并且由于k+j = n - xz在L中。同样适用于y，所以yz在L。
• 如果z = B ^{J + 2}，然后XZ =一个^Ñ b ^ķ b ^{J + 2}，并且由于k+j+2 = n+2 - xz是L。同样适用于y，所以yz在L。
• 否则，x为b ^我使得i ≠ j和i ≠ J + 2，你会得到两个xz和yz不是L。

因此，对于每个j和用于在每G_j并x,y在每个z {A，B} ^*：xz在L < - 在L>yz。

使用相同的方法对每个H_j证明相同。

而且，很容易表明，对于每个x G_JùH_j，以及用于在每个G_illegal y - 为z = B ^Ĵ，XZ为L和yz不在L.
对于x在G_j和y in H_i，for z = ab ^{j + 1} - 很容易看出xz不在L中，而yz在L中。
这是很容易看到，对于x，在G_J和的G_i y分别或x，y在H_j，H_i - 为z = B ^Ĵ：xz是在L而yz不是。

我们只是证明了我们创建的集实际上是对R _大号从nerode's theorem的等价关系，因为我们有这些组的无限数量，每个用户可以使用R _大号的等价关系[我们有H_j和G_j每j] - 我们可以从nerode的定理推导出语言L是不规则的。

Answer 2

您可以使用pumping lemma作为常规语言。它基本上说，如果你可以找到一个字符串给任何给定的整数n和这个字符串的任何分区到xyz，这样| xy | < = n和| y | > 0，那么你可以抽出字符串的y部分，并且必须保持在语言中，这意味着，如果xy^iz它不在我的语言中，那么语言是不规则的。

证明是这样的，有种对手的证明。假设有人告诉你这种语言是正规的。然后问他一个n> 0的数字。你建立一个长度大于n的方便的字符串，并且你给敌手。他以任何他想要的方式将字符串分割为x，y z，只要| xy | < = n。然后你必须抽y（直到重复它），直到找到一个不是同一种语言的字符串。

在这种情况下，我告诉你：给我n。你修复n。我告诉你：取出字符串“a^n b^{n + 2}”，并告诉你将它分开。无论如何，你可以分割这个字符串，你总是必须使y = a^k，k> 0，因为你迫使| xy | < = n，我的字符串以^ n开头。这里有个诀窍，你给对手一个弦，这样他就可以把它分开，他给你一个你可以抽的部分。所以，现在我们抽出0次，比如0次，然后得到“a^m b^{n + 2}”，这与你的语言不符。完成。我们也可以抽1次，n次，n！阶乘时间，任何你需要让它离开语言的东西。

这个定理的证明绕了一圈说如果你有一个正规的语言，那么你有一个自动机有一些固定的n状态。如果一个字符串有超过n个字符，那么它必须经过自动机中的某个循环。如果我们在进入循环之前将字符串的一部分命名为x，并且将循环中的部分命名为y，很明显我们可以根据需要多次执行y循环，因为我们可以根据需要多次循环运行循环，并且结果字符串必须使用该语言，因为它会被该自动机识别。为了用这个定理证明非规律性，由于我们不知道假定的自动机将如何，我们必须让对手选择n和自动机内周期的位置（不会有自动机，但是你对敌人说了这样的话：敢给我一个自动机，我会告诉你它不能存在。）